Bài 70 trang 141 sgk toán 7 tập 1 - Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối c... Dehoctot.com

Bài 70 trang 141 sgk toán 7 tập 1

0 lượt xem | Toán


Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của BC lấy điểm M, trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN.

a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác cân.

b) Kẻ BH ⊥ AM (H AM), kẻ CK ⊥ AN (K. Chứng minh rằng BH = CK.

c) Chứng minh rằng AH = AK.

d) Gọi O là giao điểm của HB và KC. Tam giác OBC là tam giác gì? Vì sao ?

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^0}\)  và BM = CN = BC, hãy tính số đo các góc của tam giác AMN và xác định dạnh của tam giác OBC.

Hướng dẫn làm bài:

a) ∆ABC cân, suy ra  \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\)   (1)

\(\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\) (hai góc kề bù)  (2)

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\) (hai góc kề bù)   (3)

 Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

Xét ∆ABM và ∆CAN có:

+) AB = AC (gt)

+) \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (cmt)

+) BM = CN (gt)

\(\Rightarrow\) ∆ABM = ∆CAN (c-g-c)

Suy ra \(\widehat M = \widehat N\)

Vậy ∆AMN là tam giác cân ở A.

b) Hai tam giác vuông ∆BHM và ∆CKN có :

BM = CN (gt)

\(\widehat M = \widehat N\) (CM từ câu a)

Nên ∆BHM  = ∆CHN (cạnh huyền, góc nhọn)

Suy ra BH = CK.

c) Theo câu (a) ta có tam giác AMN cân ở A nên AM = AN (*)

Theo câu b ta có ∆BHM = ∆CKN nên suy ra HM = KN (**).

Do đó AH = AM – HM = AN – KN (theo (*) và (**)) = AK

Vậy AH = AK.

d) ∆BHM = ∆CKN suy ra \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\)  

Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\) (đối đỉnh); \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\) (đối đỉnh)

Nên \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\) .

Vậy ∆OBC là tam giác cân.

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và BM = CN = BC hình được vẽ lại như sau:

+Tam giác cân ABC có \(\widehat {BAC} = {60^0}\) nên là tam giác đều hay AB = BC = AC

Mặt khác: BM = CN = BC (gt)

Do đó: AB = BC = AC = BM = CN

Ta có: \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN} = {120^0}\) (cùng bù với 600)

Vì AB = BM (cmt) nên ∆ABM cân ở B suy ra \(\widehat M = \widehat {BAM} = {{{{180}^0} - {{120}^0}} \over 2} = {30^0}\) .

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^0}\) .

Và \(\widehat {MAN} = {180^0} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)\)

       \( = {180^0} - {2.30^0} = {120^0}\)

Vậy ∆AMN có \(\widehat M = \widehat N = {30^0};\widehat A = {120^0}.\)

+∆BHM có: \(\widehat M = {30^0}\) nên \(\widehat {{B_2}} = {60^0}\) (hai góc phụ nhau)

Suy ra \(\widehat {{B_3}} = {60^0}\)

Tương tự \(\widehat {{C_3}} = {60^0}\)

Tam giác OBC có \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}} = {60^0}\) nên tam giác OBC là tam giác đều.

(Tam giác cân có một góc bằng 600 nên là tam giác đều).



Đã có app DeHocTot trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé!