Bài 8 trang 17 sgk hình học lớp 10 - Bài 8. Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, ... DeHocTot.com

Bài 8 trang 17 sgk hình học lớp 10

Toán


Bài 8. Cho lục giác \(ABCDEF\). Gọi \(M, N, P, Q, R, S\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EF, FA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPR\) và \(NQS\) có cùng trọng tâm.

Giải

\(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên ta có:

      \(\overrightarrow {MN}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)

Tương tự ta có:        

  \(\eqalign{
& \overrightarrow {PQ} = {1 \over 2}\overrightarrow {CE} \cr
& \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\overrightarrow {EA} \cr} \)

\(\eqalign{
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right) = {1 \over 2}\overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0 \cr
& \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 (1) \cr
& \cr} \)   

Gọi \(G\) là trong tâm của tam giác \(MPR\), ta có:

        \(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0 (2)\)

Mặt khác : 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GN} \cr
& \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GQ} \cr
& \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GS} \cr} \)

\(\Rightarrow \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {RS}  = \left( {\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {PG}  + \overrightarrow {RG} } \right) + \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS} (3)\)

Từ (1),(2), (3) suy ra: \(\overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GS}  = \overrightarrow 0 \)

Vậy \(G\) là trọng tâm của tam giác \(NQS\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay