Bài 9 trang 12 sgk hình học lớp 10 - Bài 9. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}... DeHocTot.com

Bài 9 trang 12 sgk hình học lớp 10

Toán


Bài 9. Chứng minh rằng \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng \(AD\)  và \(BC\) trùng nhau.

Giải

Ta chứng minh hai mệnh đề.

a) Cho  \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\) thì \(AD\) và \(BC\) có trung điểm trùng nhau. Gọi \(I\) là trung điểm của \(AD\) ta chứng minh \(I\) cũng là trung điểm của \(BC\).

Theo quy tắc của ba điểm của tổng, ta có 

     \(\overrightarrow{AB}= \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}\);

      \(\overrightarrow{CD}= \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)

Vì \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}\) nên \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB}=  \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)

                           \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} = \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}\)

                           \(\Rightarrow\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}\)              (1)

Vì \(I\) là trung điểm của \(AD\) nên  \(\overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\)         (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI} = \overrightarrow{0}\)                             (3)

Đẳng thức (3) chứng tỏ \(I\) là trung điểm của \(BC\).

b) \(AD\) và \(BC\)  có chung trung điểm \(I\), ta chứng minh \(\overrightarrow{AB}\) = \(\overrightarrow{CD}\).

\(I\) là trung điểm của \(AD\) \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0}\)   \(\Rightarrow\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID} =\overrightarrow{0}\)

\(I\) là trung điểm của \(BC\)  \(\Rightarrow \overrightarrow{CI} + \overrightarrow{BI}= \overrightarrow{0}\)    \(\Rightarrow \overrightarrow{CI} - \overrightarrow{IB}= \overrightarrow{0}\)

Suy ra  \(\overrightarrow{AI} - \overrightarrow{ID}=  \overrightarrow{CI}- \overrightarrow{IB}\) 

     \(\Rightarrow \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{CI}+ \overrightarrow{ID}\)    \(\Rightarrow \overrightarrow{AB}= \overrightarrow{CD}\) (đpcm)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay