Câu 10 trang 107 SGK Đại số 10 - Bài 10. Cho \(a>0, b>0\). Chứng minh rằ... DeHocTot.com

Câu 10 trang 107 SGK Đại số 10

Toán


Bài 10. Cho \(a>0, b>0\). Chứng minh rằng: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \)

Trả lời:

Đặt \(x=\sqrt a, y = \sqrt b\) ( ta có \(x>0\) và \(y>0\))

 \({a \over {\sqrt b }} = {{{x^2}} \over y};{b \over {\sqrt a }} = {{{y^2}} \over x}\)

Suy ra: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} = {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}} = {{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy)} \over {xy}}\) (1)

Mà \(x^2+y^2≥ 2xy\) (Bất đẳng thức Cô-si)

Nên \(x^2+y^2- xy ≥ xy ⇔\) \({{{x^2} + {y^2} - xy} \over {xy}} \ge 1\)

Do đó (1) \({{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}≥ x+y ⇔ {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} \ge x + y\)

\(⇔ {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b \)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay