Câu 12 trang 107 SGK Đại số 10 - Bài 12. Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh ... DeHocTot.com

Câu 12 trang 107 SGK Đại số 10

Toán


Bài 12. Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng: \({b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}({b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2})x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x\)

Trả lời:

Biệt thức của tam thức vế  trái:

\({\Delta {\rm{ }} = {\rm{ }}{{\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right)}^2}-{\rm{ }}4{b^2}{c^2}}\)

\({ = {\rm{ }}\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^{2}} + {\rm{ }}2bc} \right){\rm{ }}\left( {{b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2} - 2bc} \right)}\)

\({ = {\rm{ }}\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]\left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2}-{\rm{ }}{a^2}} \right]}\)

\({ = {\rm{ }}\left( {b + a + c} \right)\left( {b + c{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)\left( {b{\rm{ }}-{\rm{ }}c + a} \right)\left( {b{\rm{ }}-{\rm{ }}c{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right){\rm{ }} < 0}\)

(vì trong một tam giác tổng của hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba \(b+a+c>0; b+c – a>0; b – c+a>0; b – c – a<0\))

Do đó tam giác cùng dấu với \(b^2>0, ∀x\).

Nghĩa là: \({b^2}{x^{2}}-{\rm{ }}({b^2} + {c^2}-{\rm{ }}{a^2})x{\rm{ }} + {c^2} > 0,{\rm{ }}\forall x\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay