Câu 1 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - a. Tính \(\sin {\pi  \over 8}\,\text{ và }\,\co... DeHocTot.com

Câu 1 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


a. Tính \(\sin {\pi  \over 8}\,\text{ và }\,\cos {\pi  \over 8}\)

b. Chứng minh rằng có hằng số C > 0 để có đẳng thức

\(\sin x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos x = C\cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right)\) với mọi x.

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{  & {\sin ^2}{\pi  \over 8} = {{1 - \cos {\pi  \over 4}} \over 2} = {{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 4}  \cr  &  \Rightarrow \sin {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 }   \cr  & {\cos ^2}{\pi  \over 8} = {{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 4}  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }  \cr} \)

b. Ta có:

\(\eqalign{  & {1^2} + {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 2 .\,\text{ Do đó}\,:  \cr  & \sin x + \left( {\sqrt 2  - 1} \right)\cos x  \cr  &  = \left( {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } } \right)\left( {{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\sin x + {{\sqrt 2  - 1} \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\cos x} \right)  \cr  &  = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \left( {\sin x\cos {\pi  \over 8} + \sin {\pi  \over 8}\cos x} \right)  \cr  &  = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \sin \left( {x + {\pi  \over 8}} \right)  \cr  &  = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right)  \cr  & \text{ Vì }\,{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }} = {{\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } } \over {\sqrt 8 }} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }  = \cos {\pi  \over 8}.  \cr  & \text{Vậy }\,C = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 }  \cr} \)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay