Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Ta đã biết \(\cos {\pi  \over {{2^2}}} = {1 \... DeHocTot.com

Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Ta đã biết \(\cos {\pi  \over {{2^2}}} = {1 \over 2}\sqrt 2 .\) Chứng minh rằng :

a. \(\cos {\pi  \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \)

b. \(\cos {\pi  \over {{2^n}}} = {1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1\,\text{ dấu căn}}\)   (1)   với mọi số nguyên n ≥ 2.

Giải:

a.

\(\eqalign{  & {\cos ^2}{\pi  \over {{2^3}}} = {\cos ^2}{\pi  \over 8} = {{1 + \cos {\pi  \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} \cr&= {{2 + \sqrt 2 } \over 4}  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 }  \cr} \)

b. Với n = 2 ta có \(\cos {\pi  \over 4} = {1 \over 2}\sqrt 2 \,\,\left( 1 \right)\) đúng.

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :

\(\cos {\pi  \over {{2^k}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \) (k – 1 dấu căn)

Với n = k + 1 ta có

\(\eqalign{  & {\cos ^2}{\pi  \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\left( {1 + \cos {\pi  \over {{2^k}}}} \right)  \cr  &  = {1 \over 2}\left( {1 + {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)  \cr  &  = {1 \over 4}\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right)  \cr  &  \Rightarrow \cos {\pi  \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \,\,\left( {k\,\text{ dấu căn}} \right) \cr} \)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với \(∀n ≥ 2\).



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay