Câu 13 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Bài 13. Hãy xét tính tăng, giảm của các ... DeHocTot.com

Câu 13 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Bài 13. Hãy xét tính tăng, giảm của các dãy số sau :

a. Dãy số (un) với \({u_n} = {n^3} - 3{n^2} + 5n - 7\) ;

b. Dãy số (xn) với  \({x_n} = {{n + 1} \over {{3^n}}}\)

c. Dãy số (an) với  \({a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \)

Hướng dẫn :

a. Xét hiệu un+1 – un.

b. Xét tỉ số  \({{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}}\)

c. Viết lại công thức xác định an dưới dạng

\({a_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\)

Tiếp theo, xét tỉ số  \({{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}}\)

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{
& {u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^3} - 3{\left( {n + 1} \right)^2} + 5\left( {n + 1} \right) - 7 - \left( {{n^3} - 3{n^2} + 5n - 7} \right) \cr
& = 3{n^2} - 3n + 3 > 0,\forall n \in \mathbb N^* \cr} \)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \Rightarrow \left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.

b. Ta có:

\(\eqalign{
& {{{x_n}} \over {{x_{n + 1}}}} = {{n + 1} \over {{3^n}}}.{{{3^{n + 1}}} \over {n + 2}} = {{3\left( {n + 1} \right)} \over {n + 2}} = {{3n + 3} \over {n + 2}} > 1\;\forall n  \in \mathbb N^* \cr
& \Rightarrow {x_n} > {x_{n + 1}} \cr} \)

\(⇒ (x_n)\) là dãy số giảm.

c. Ta có:

\(\eqalign{
& {a_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr
& {{{a_n}} \over {{a_{n + 1}}}} = {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 1 \cr
& \Rightarrow {a_n} > {a_{n + 1}} \cr} \)

⇒ \((a_n)\) là dãy số giảm.



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay