Câu 18 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Bài 18. Tìm các giới hạn sau :a.  \(\lim \... DeHocTot.com

Câu 18 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Bài 18. Tìm các giới hạn sau :

a.  \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right)\)

Hướng dẫn : Nhân và chia biểu thức đã cho với  \(\sqrt {{n^2} + n + 1} + n\)

b.  \(\lim {1 \over {\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }}\)

Hướng dẫn : Nhân tử và mẫu của phân thức đã cho với  \(\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} \)

c.  \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 2} - \sqrt {n + 1} } \right)\)

d.  \(\lim {1 \over {\sqrt {3n + 2} - \sqrt {2n + 1} }}\)

e.  \(\lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)n\)

f.  \(\lim {{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {n + 1} } \over {3n + 2}}\)

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{
& \lim \left( {\sqrt {{n^2} + n + 1} - n} \right) = \lim {{\left( {{n^2} + n + 1} \right) - {n^2}} \over {\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} \cr
& = \lim {{n + 1} \over {\sqrt {{n^2} + n + 1} + n}} = \lim {{n\left( {1 + {1 \over n}} \right)} \over {n\left( {\sqrt {1 + {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} + 1} \right)}} \cr
& = \lim {{1 + {1 \over n}} \over {\sqrt {1 + {1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \)

b.

\(\eqalign{
& \lim {1 \over {\sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} }} = \lim {{\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \over {n + 2 - n - 1}} \cr
& = \lim \left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} } \right) = + \infty \cr} \)

c.

\(\eqalign{
& \lim \sqrt {{n^2} + n + 2} - \sqrt {n + 1} = \lim\,n \left( {\sqrt {1 + {1 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} - \sqrt {{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \right) = + \infty \cr
& \text{ vì}\;\lim n = + \infty \text{ và}\;\lim \left( {\sqrt {1 + {1 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} - \sqrt {{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \right) = 1 > 0 \cr} \)

d.

\(\eqalign{
& \lim {1 \over {\sqrt {3n + 2} - \sqrt {2n + 1} }} = \lim {{\sqrt {3n + 2} + \sqrt {2n + 1} } \over {3n + 2 - 2n - 1}} \cr
& = \lim {{\sqrt {3n + 2} + \sqrt {2n + 1} } \over {n + 1}} = \lim {{n\left( {\sqrt {{3 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} + \sqrt {{2 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \right)} \over {n\left( {1 + {1 \over n}} \right)}} \cr
& = \lim {{\sqrt {{3 \over n} + {2 \over {{n^2}}}} + \sqrt {{2 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \over {1 + {1 \over n}}} = 0 \cr} \)

e.

\(\eqalign{
& \lim \left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right).n \cr
& = \lim \sqrt n .{{\sqrt n } \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \lim \sqrt n .{1 \over {\sqrt {1 + {1 \over n}} + 1}} = + \infty \cr
& \text{ vì}\;\lim \sqrt n = + \infty \;\text{và}\;\lim {1 \over {\sqrt {1 + {1 \over n}} + 1}} = {1 \over 2} > 0 \cr} \)

f.

\(\eqalign{
& \lim {{\sqrt {{n^2} + 1} - \sqrt {n + 1} } \over {3n + 2}} = \lim {{n\left( {\sqrt {1 + {1 \over {{n^2}}}} - \sqrt {{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \right)} \over {n\left( {3 + {2 \over n}} \right)}} \cr
& = \lim {{\sqrt {1 + {1 \over {{n^2}}}} - \sqrt {{1 \over n} + {1 \over {{n^2}}}} } \over {3 + {2 \over n}}} = {1 \over 3}. \cr} \)

             



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay