Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - ... DeHocTot.com

Câu 20 trang 114 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Bài 20. Trên tia Ox lấy các điểm A1, A2, …, An, … sao cho với mỗi số nguyên dương n, OAn = n. Trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa tia Ox, vẽ các nửa đường tròn đường kính OAn, n = 1, 2, … . Kí hiệu u1 là diện tích của nửa hình tròn đường kính OA1 và với mỗi n ≥ 2, kí hiệu un là diện tích của hình giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính OAn – 1 , nửa đường tròn đường kính OAn và tia Ox (h 3.3). Chứng minh rằng dãy số (un) là một cấp số cộng. Hãy xác định công sai của cấp số cộng đó.

Giải:

Với \(n ≥ 2\) ta có :

\(\eqalign{
& {u_n} = {1 \over 2}\left( {\pi {{OA_n^2} \over 4} - \pi {{OA_{n - 1}^2} \over 4}} \right) \cr
& = {1 \over 8}\pi \left[ {\left( {{n^2} - {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \right)} \right] \cr
& = {{\left( {2n - 1} \right)\pi } \over 8}\,\left( {n \ge 2} \right) \cr
& \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {{2n + 1} \over 8}\pi - {{\left( {2n - 1} \right)} \over 8}\pi = {\pi \over 4},\forall n \ge 2 \cr} \)

Mặt khác

\({u_2} - {u_1} = {{3\pi } \over 8} - {\pi \over 8} = {\pi \over 4}\)

Vậy  \({u_{n + 1}} - {u_n} = {\pi \over 4}\;\forall n \in\mathbb N^*\)

Do đó (un) là cấp số cộng với công sai  \(d = {\pi \over 4}.\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay