Câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - ... DeHocTot.com

Câu 32 trang 42 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Bài 32. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi biểu thức sau :

a. \(a\sin x + b\cos x\) (a và b là hằng số, \(a^2+ b^2≠ 0\)) ;

b.  \({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x;\)

c.\(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) (A, B và C là hằng số).

Giải:

a. Ta có:

\(\eqalign{
& a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {{a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\sin x\cos \alpha + \sin \alpha \cos x} \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \sin \left( {x + \alpha } \right) \cr
& \left( {\text{ trong đó}\,\sin \alpha = {b \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }};\,\cos \alpha = {a \over {\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}} \right) \cr} \) 

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(a\sin x + b\cos x\) lần lượt  là :

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\text{ và }\, - \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) 

b. Ta có :

\(\eqalign{
& {\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x = {1 \over 2}\sin 2x + {{1 - \cos 2x} \over 2} + 3.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\sin 2x + \cos 2x + 2 \cr
& \text{ Ta có }\,\left| {{1 \over 2}\sin 2x + \cos 2x} \right| \le \sqrt {{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^2} + {1^2}} = {{\sqrt 5 } \over 2} \cr} \) 

Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \({\sin ^2}x + \sin x\cos x + 3{\cos ^2}x\) lần lượt là :  

\({{\sqrt 5 } \over 2} + 2\,\text{ và }\, - {{\sqrt 5 } \over 2} + 2\)

c. Ta có:

\(\eqalign{
& A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x \cr
& = A.{{1 - \cos 2x} \over 2} + {B \over 2}.\sin 2x + C.{{1 + \cos 2x} \over 2} \cr
& = {B \over 2}.\sin 2x + {{C - A} \over 2}\cos 2x + {{C + A} \over 2} = a\sin 2x + b\cos 2x + c \cr
& \text{ trong đó}\,\,a = {B \over 2},\,b = {{C - A} \over 2},\,c = {{C + A} \over 2} \cr} \) 

Vậy \(A{\sin ^2}x + B\sin x\cos x + C{\cos ^2}x\) đạt giá trị lớn nhất là :

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} + c = \sqrt {{{{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} \over 4}} + {{C + A} \over 2} = {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + \left( {C - A} \right)} + {{C + A} \over 2}\) và giá trị nhỏ nhất là  \( - {1 \over 2}\sqrt {{B^2} + {{\left( {C - A} \right)}^2}} + {{C + A} \over 2}.\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay