Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Bài 4 Chứng minh rằng với mọi số nguyê... DeHocTot.com

Câu 4 trang 100 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Bài 4 Chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n ≥ 2\), ta luôn có đẳng thức sau :

\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{n^2}}}} \right) = {{n + 1} \over {2n}}\)

Giải

+) Với \(n = 2\) ta có \(1 - {1 \over 4} = {3 \over 4}\) (đúng). Vậy (1) đúng với \(n = 2\)

+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có

\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right) = {{k + 1} \over {2k}}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là phải chứng minh :

\(\left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) = {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}}\)

Thật vậy theo giả thiết qui nạp ta có :

\(\eqalign{
& \left( {1 - {1 \over 4}} \right)\left( {1 - {1 \over 9}} \right)...\left( {1 - {1 \over {{k^2}}}} \right)\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr
& = {{k + 1} \over {2k}}\left( {1 - {1 \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} \right) \cr
& = {{k + 1} \over {2k}}.{{{k^2} + 2k} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}} ={{k + 1} \over {2k}}.{{k.\left( {k + 2} \right)} \over {{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}= {{k + 2} \over {2\left( {k + 1} \right)}} \cr} \)

Vậy (1) đúng với \(n = k + 1\) do đó (1) đúng với mọi \(n ≥ 2\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay