Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Bài 45. Cho dãy số (un) xác định bởi\({u... DeHocTot.com

Câu 45 trang 123 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Bài 45. Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 2\text{ và }{u_n} = {{{u_{n - 1}} + 1} \over 2}\) với mọi \(n ≥ 2\)

Chứng minh rằng

\({u_n} = {{{2^{n - 1}} + 1} \over {{2^{n - 1}}}}\)   (1)

Với mọi số nguyên dương n.

Giải:

+) Với \(n = 1\), theo giả thiết ta có \({u_1} = 2 = {{{2^{1 - 1}} + 1} \over {{2^{1 - 1}}}}\) . Như vậy (1) đúng khi \(n = 1\).

+) Giả sử (1) đúng khi \(n = k,\; k \in\mathbb N^*\) tức là:

\(u_k={{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}}\)

+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)

Khi đó, từ hệ thức xác định dãy số (un) ta có:

\({u_{k + 1}} = {{{u_k} + 1} \over 2} = {{{{{2^{k - 1}} + 1} \over {{2^{k - 1}}}} + 1} \over 2} = {{{2^k} + 1} \over {{2^k}}}\)

Nghĩa là (1) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy (1) đúng với mọi \(n \in\mathbb N^*\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay