Câu 46 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Chứng minh rằng :a. Các hàm số \(f\left( x... DeHocTot.com

Câu 46 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Chứng minh rằng :

a. Các hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\,\text {và }\,g\left( x \right) = {{{x^3} - 1} \over {{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \in\mathbb R\).

b. Hàm số  \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}}\,\text{ với}\,x \ne 2,} \cr {1\,\text{ với}\,x = 2} \cr} } \right.\)

liên tục tại điểm \(x = 2\)

c. Hàm số  \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} - 1} \over {x - 1}}\,\text{ với}\,x \ne 1} \cr {2\,\text{ với}\,x = 1} \cr} } \right.\)

gián đoạn tại điểm \(x = 1\)

Giải:

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\), ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^3} - x + 3} \right) = x_0^3 - {x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy f liên tục tại điểm x0. Do đó hàm số f liên tục trên \(\mathbb R\).

Hàm số g là hàm phân thức nên g liên tục trên tập xác định \(D=\mathbb R\).

b. Với mọi \(x ≠ 2\), ta có:

\(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {x - 2}} = x - 1\)

Do đó  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( x-1 \right) = 1 = f\left( 2 \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại điểm \(x = 2\)

c) Với mọi  \(x ≠ 1\), ta có:

\(f(x) = {{{x^3} - 1} \over {x - 1}} = {x^2} + x + 1\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,({x^2} + x + 1) = 3 \ne 2 = f(1)\)

Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm \(x = 1\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay