Câu 47 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Chứng minh rằng :a. Hàm số \(f\left( x \rig... DeHocTot.com

Câu 47 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Chứng minh rằng :

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) liên tục trên \(\mathbb R\)

b. Hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\) liên tục trên khoảng (-1 ; 1) ;

c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) liên tục trên đoạn [-2 ; 2];

d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng  \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Giải:

a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} - {x^2} + 2} \right) = x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy f liên tục tại x0 nên f liên tục trên \(\mathbb R\).

b. Hàm số f xác định khi và chỉ khi :

\(1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\)

Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1)

Với mọi x0ϵ (-1 ; 1), ta có :  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} = {1 \over {\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục tại điểm x0. Do đó f liên tục trên khoảng  (-1 ; 1)

c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) xác định trên đoạn [-2 ; 2]

Với mọi \({x_0} \in \left( { - 2;2} \right)\) , ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2). Ngoài ra, ta có :

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0 = f\left( { - 2} \right)\)

và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }} = \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right)\)

Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2]

d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên nửa khoảng  \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Với \({x_0} \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) ta có  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} = \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left( {{x_0}} \right)\)

Nên hàm số liên tục trên khoảng  \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)

Mặt khác ta có  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left( {{1 \over 2}} \right)\)

Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng  \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay