Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - a. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) T... DeHocTot.com

Câu 47 trang 219 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


a. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \tan x.\) Tính \({f^{\left( n \right)}}\left( x \right)\) với n = 1, 2, 3.

b. Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)

Giải:

a. 

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = 1 + {\tan ^2}x\\
f"\left( x \right) = 2\tan x .\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right)=2{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)^2} + 4{\tan ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)
\end{array}\)

b. \({f^{\left( {4n} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)  (1)

Với n = 1 ta có: 

\(\begin{array}{l}
f'\left( x \right) = \sin 2x\\
f"\left( x \right) = 2\cos 2x\\
{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = - 4\sin 2x\\
{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = - 8\cos 2x
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = 1

Giả sử (1) đúng với n = k tức là :  \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) =  - {2^{4k - 1}}\cos 2x\)

Với n = k + 1 ta có : 

\(\begin{array}{l}
{f^{\left( {4k + 1} \right)}}\left( x \right) = \left( {{f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right)} \right)' = {2^{4k}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 2} \right)}}\left( x \right) = {2^{4k + 1}}\cos 2x\\
{f^{\left( {4k + 3} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 2}}\sin 2x\\
{f^{\left( {4k + 4} \right)}}\left( x \right) = - {2^{4k + 3}}\cos 2x
\end{array}\)

Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với mọi n.



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay