Câu 48 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Bài 48. a. Chứng minh rằng  \(\sin {\pi \ove... DeHocTot.com

Câu 48 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Bài 48. a. Chứng minh rằng  \(\sin {\pi \over {12}} = {{\sqrt 3 - 1} \over {2\sqrt 2 }}\)

b. Giải các phương trình \(2\sin x – 2\cos x =1 - \sqrt 3 \) bằng cách biến đổi vế trái về dạng \(C\sin(x + α)\).

c. Giải phương trình \(2\sin x – 2\cos x =1 - \sqrt 3 \) bằng cách bình phương hai vế.

Giải

a. Ta có:

\(\eqalign{
& \sin {\pi \over {12}} = \sin \left( {{\pi \over 3} - {\pi \over 4}} \right) \cr
& = \sin {\pi \over 3}\cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos {\pi \over 3} \cr
& = {{\sqrt 3 } \over 2}.{{\sqrt 2 } \over 2} - {{\sqrt 2 } \over 2}.{1 \over 2} \cr
& = {{\sqrt 6 - \sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over 4} \cr
& = {{\sqrt 3 - 1} \over {2\sqrt 2 }} \cr} \) 

b. Ta có:

\(\eqalign{& 2\sin x - 2\cos x = 1 - \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x - {1 \over {\sqrt 2 }}\cos x = {{1 - \sqrt 3 } \over {2\sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow \sin x.\cos {\pi \over 4} - \sin {\pi \over 4}\cos x = - \sin {\pi \over {12}} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = \sin \left( { - {\pi \over {12}}} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x - {\pi \over 4} = - {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr
{x - {\pi \over 4} = \pi + {\pi \over {12}} + k2\pi } \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x = {{4\pi } \over 3} + k2\pi } \cr} } \right.\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \) 

c. Chú ý rằng \(1 - \sqrt 3 < 0\), ta đặt điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\) rồi bình phương hai vế của phương trình thì được :

\(\eqalign{& 4\left( {1 - \sin 2x} \right) = 4 - 2\sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x = {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + k\pi } \cr {x = {\pi \over 3} + k\pi } \cr}\,\,(k\in\mathbb Z) } \right. \cr} \) 

Thử vào điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\), ta thấy :

* Họ nghiệm \(x = {\pi \over 6} + k\pi \) thỏa mãn điều kiện \(\sin x – \cos x < 0\) khi và chỉ khi \(k\) chẵn, tức là \(x = {\pi \over 6} + 2m\pi \) với \(m \in\mathbb Z\).

* Họ nghiệm \(x = {\pi \over 3} + k\pi \) thỏa mãn điều kiện \(\sin x  – \cos x < 0\) khi và chỉ khi \(k\) lẻ, tức là \(x = {\pi \over 3} + \left( {2m + 1} \right)\pi = {{4\pi } \over 3} + 2m\pi \) với \(m \in\mathbb Z\).

Ta có kết quả như đã nêu ở câu b. 



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay