Câu 50 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Bài 50. Cho phương trình  \({{{{\sin }^3}x + ... DeHocTot.com

Câu 50 trang 48 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Bài 50. Cho phương trình  \({{{{\sin }^3}x + {{\cos }^3}x} \over {2\cos x - \sin x}} = \cos 2x.\)

a. Chứng minh rằng \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) nghiệm đúng phương trình.

b. Giải phương trình bằng cách đặt \(\tan x = t\) (khi \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi \)   )

Giải

a. Thay \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) vào phương trình ta được :

\({{{{\left( { - 1} \right)}^{3k}}} \over { - {{\left( { - 1} \right)}^k}}} = \cos \pi \Leftrightarrow - 1 = - 1\) (luôn đúng)

Vậy \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) là nghiệm phương trình

b. * \(x = {\pi \over 2} + k\pi \) là nghiệm phương trình.

* Với \(x \ne {\pi \over 2} + k\pi \) chia tử và mẫu của vế trái cho \({\cos ^3}x\) ta được :

\({{{{\tan }^3}x + 1} \over {2\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = {{1 - {{\tan }^2}x} \over {1 + {{\tan }^2}x}}\) 

Đặt \(t = \tan x\) ta được :

\(\eqalign{& {{{t^3} + 1} \over {\left( {2 - t} \right)\left( {1 + {t^2}} \right)}} = {{1 - {t^2}} \over {1 + {t^2}}} \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = \left( {{t^2} - 1} \right)\left( {t - 2} \right) \cr & \Leftrightarrow {t^3} + 1 = {t^3} - 2{t^2} - t + 2 \cr & \Leftrightarrow 2{t^2} + t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{t = - 1} \cr {t = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\tan x = - 1} \cr {\tan x = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = - {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \alpha + k\pi } \cr} } \right. \cr & \text{ với }\,\tan \alpha = {1 \over 2} \cr} \) 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm :\(x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = - {\pi \over 4} + k\pi ,x = \alpha + k\pi \,\left( {k \in\mathbb Z} \right)\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay