Câu 51 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm t... DeHocTot.com

Câu 51 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)

a. \(y=\sin x,\;y'''\)  

b. \(y = \sin x\sin 5x,{y^{\left( 4 \right)}}\)

c. \(y = {\left( {4 - x} \right)^5},{y^{\left( n \right)}}\)

d. \(y = {1 \over {2 + x}},{y^{\left( n \right)}}\)

e. \(y = {1 \over {2x + 1}},{y^{\left( n \right)}}\)

f. \(y = {\cos ^2}x,{y^{\left( {2n} \right)}}\)

Giải:

a. 

\(\begin{array}{l}
y' = \cos x\\
y" = - \sin x\\
y''' = - \cos x
\end{array}\)

b. 

\(\begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 6x} \right)\\
y' = - 2\sin 4x + 3\sin 6x\\
y" = - 8\cos 4x + 18\cos 6x\\
y'" = 32\sin 4x - 108\sin 6x\\
{y^{\left( 4 \right)}} = 128\cos 4x - 648\cos 6x
\end{array}\)

c. 

\(\begin{array}{l}
y' = - 5{\left( {4 - x} \right)^4}\\
y" = 20{\left( {4 - x} \right)^3}\\
y"' = - 60{\left( {4 - x} \right)^2}\\
{y^{\left( 4 \right)}} = 120\left( {4 - x} \right)\\
{y^{\left( 5 \right)}} = - 120\\
{y^{\left( n \right)}} = 0\,\left( {\forall n \ge 6} \right)
\end{array}\)

d. 

\(\begin{array}{l}
y = \frac{1}{{x + 2}} = {\left( {x + 2} \right)^{ - 1}}\\
y' = - 1{\left( {x + 2} \right)^{ - 2}}\\
y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^{ - 3}},...
\end{array}\)

Bằng qui nạp ta chứng minh được :
  \({y^{\left( n \right)}} = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - n} \right).{\left( {x + 2} \right)^{ - n - 1}}\)

          \(= {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{n!}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^{n + 1}}}}\)

e.  

\(\begin{array}{l}
y = {\left( {2x + 1} \right)^{ - 1}}\\
y' = \left( { - 1} \right)\left( {2{{\left( {2x + 1} \right)}^{ - 2}}} \right)\\
y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){.2^2}{\left( {2x + 1} \right)^{ - 3}},...
\end{array}\)

Bằng qui nạp ta chứng minh được :

 \({y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{{2^n}.n!}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{n + 1}}}}\)

f. Ta có: 

\(\begin{array}{l}
y' = - \sin 2x\\
y" = - 2\cos 2x\\
y"' = {2^2}\sin 2x\\
{y^{\left( 4 \right)}} = {2^3}\cos 2x\\
{y^{\left( 5 \right)}} = - {2^4}\sin 2x\\
{y^{\left( 6 \right)}} = - {2^5}\cos 2x,...
\end{array}\)

Bằng qui nạp ta chứng minh được :

   \({y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{.2^{2n - 1}}\cos 2x\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay