Câu 7 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao - Bài 7. Cho dãy số (un) xác định bởi\({u_... DeHocTot.com

Câu 7 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Toán nâng cao


Bài 7. Cho dãy số (un) xác định bởi

\({u_1} = 10\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over 5} + 3\) với mọi \(n ≥ 1\)

a. Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - {{15} \over 4}\) là một cấp số nhân.

b. Tìm \(\lim u_n\).

Giải:

a. Ta có:  \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {{15} \over 4} = {{{u_n}} \over {5}} + 3 - {{15} \over 4} = {{{u_n}} \over 5} - {3 \over 4}\)

Thay \({u_n} = {v_n} + {{15} \over 4}\) vào ta được  :

\({v_{n + 1}} = {1 \over 5}\left( {{v_n} + {{15} \over 4}} \right) - {3 \over 4} = {1 \over 5}{v_n},\forall n\)

Vậy (vn) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội  \(q = {1 \over 5}\)

b. Ta có:

\(\eqalign{
& {v_1} = {u_1} - {{15} \over 4} = 10 - {{15} \over 4} = {{25} \over 4} \cr
& {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {{25} \over 4}.{\left( {{1 \over 5}} \right)^{n - 1}} \cr
& \Rightarrow \lim {v_n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = {{15} \over 4} \cr} \)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay