Bài 10 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - ... DeHocTot.com

Bài 10 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Cho hình chóp S.ABC. Biết rằng có một mặt cầu bán kính r tiếp xúc với các cạnh của hình chóp và tâm I của mặt cầu nằm trên đường cao SH của hình chóp.

1) Chứng minh rằng S.ABC là hình chóp đều.

2) Tính đường cao của hình chóp biết rằng \({\rm{IS = r}}\sqrt 3 .\)

Giải

1)

Vì các cạnh của hình chóp tiếp xúc với mặt cầu nên

SA+BC = SB+AC = SC+AB

Mặt khác , tâm I của mặt cầu thuộc đường cao SH nên dễ thấy  \(\widehat {ISA} = \widehat {ISB} = \widehat {ISC},\) tức là \(\widehat {HSB} = \widehat {HSA} = \widehat {HSC},\) từ đó SA=SB=SC.

Vậy AB = BC = CA, từ đó S.ABC là hình chóp đều.

2)

Đặt SH = h.

Gọi M là trung điểm của BC thì mp(SAM) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này tiếp xúc với SA tại A1, đi qua điểm M và cắt AM tại M1, dễ thấy AM= M1H = HM.

Vì \(\Delta S{A_1}I \sim \Delta SHA\) nên \({{{A_1}I} \over {SI}} = {{AH} \over {SA}},\)

Từ đó \({r \over {r\sqrt 3 }} = {{AH} \over {\sqrt {{h^2} + A{H^2}} }}.\)

Từ AH = 2M1H suy ra

\(\eqalign{  & A{H^2} = 4{M_1}{H^2} = 4(IM_1^2 - I{H^2}).  \cr  &  = 4\left[ {{r^2} - {{(h - r\sqrt 3 )}^2}} \right]. \cr} \)

Vậy

\(\eqalign{  & {1 \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt {{r^2} - {{(h - r\sqrt 3 )}^2}} } \over {\sqrt {{h^2} + 4\left[ {{r^2} - {{(h - r\sqrt 3 )}^2}} \right]} }}  \cr  &  \Leftrightarrow 9{h^2} - 16rh\sqrt 3  + 16{r^2} = 0  \cr  &  \Leftrightarrow h = {{4r} \over {\sqrt 3 }}(do\;\,h > {\rm{IS > r)}}{\rm{.}} \cr} \)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay