Bài 19 trang 8 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - ... DeHocTot.com

Bài 19 trang 8 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Cho hai hình tứ diện ABCDA’B’C’D’ có các cạnh tương ứng song song: \(AB//A'B',AC//A'C',AD//A'D',\)

\(CB//C'B',BD//B'D',DC//D'C'.\)

Chứng minh rằng hai tứ diện nói trên đồng dạng.

Giải

Vì \(AB//A'B'\) nên có số \(k \ne 0\) sao cho \(\overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {A'B'} \). Ta chứng minh rằng khi đó, ta cũng có \(\overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {A'C'} ,\overrightarrow {AD}  = k\overrightarrow {A'D'} ,\overrightarrow {CB}  = k\overrightarrow {C'B'} ,\)

\(BD = k\overrightarrow {B'D'} ,\overrightarrow {DC}  = k\overrightarrow {D'C'} .\)

Thật vậy, hai tam giác ABCA’B’C’ có các cạnh tương ứng song song nên ta phải có các số l và m sao cho \(\overrightarrow {AC}  = l\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {CB}  = m\overrightarrow {C'B'} \). Khi đó :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AB}  = k\overrightarrow {A'B'}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC}  = k\left( {\overrightarrow {A'C'}  - \overrightarrow {B'C'} } \right)  \cr  &  \Leftrightarrow l\overrightarrow {A'C'}  - m\overrightarrow {B'C'}  = k\overrightarrow {A'C'}  - k\overrightarrow {B'C'}   \cr  &  \Leftrightarrow \left( {l - k} \right)\overrightarrow {A'C'}  = \left( {m - k} \right)\overrightarrow {B'C'} . \cr} \)

Vì hai vectơ \(\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {B'C'} \) không cùng phương nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi \(l - k = m - k = 0\), tức là l=m=k, vậy \(\overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {A'C'} \) và \(\overrightarrow {BC}  = k\overrightarrow {B'C'} \).

Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.

Xét trường hợp \(k = 1\). Khi đó \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {B'C'} ,...\)nên

\(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  = ...\)

Suy ra phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {AA'} \) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.

Nếu \(k \ne 1\) thì hai đường thẳng AA’BB’ cắt nhau tại một điểm O nào đó.

Khi đó, rõ ràng phép vị tự V tâm O tỉ số \({1 \over k}\) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.

Vậy trong cả hai trường hợp nói trên, hai tứ diện ABCDA’B’C’D’ đồng dạng.



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay