Bài 23 trang 9 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1... DeHocTot.com

Bài 23 trang 9 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách giữa hai đường thẳng ABA1D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5.

a)Hạ \(AK \bot {A_1}D\left( {K \in {A_1}D} \right)\). Chứng minh rằng AK=2.

b)Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1.

Giải

(H.6)

a)

\(\eqalign{  & AB//{A_1}{B_1} \Rightarrow AB// \left( {{A_1}{B_1}D} \right)  \cr  &  \Rightarrow {d_{\left( {A,\left( {{A_1}{B_1}D} \right)} \right)}} = {d_{\left( {AB,{A_1}D} \right)}}.  \cr  &  \cr} \)

Ta có :

\(\eqalign{  & {A_1}{B_1} \bot \left( {A{A_1}{D_1}D} \right)  \cr  &  \Rightarrow {A_1}{B_1} \bot AK. \cr} \)

Mặt khác \({A_1}D \bot AK,\) suy ra \(AK \bot \left( {{A_1}{B_1}D} \right)\)

Vậy \(AK = d\left( {A,\left( {{A_1}{B_1}D} \right)} \right) = d\left( {AB,{A_1}D} \right) = 2\)

b) Xét tam giác vuông \({A_1}AD\), ta có :

\(A{K^2} = {A_1}K.KD.\)

Đặt A1K = x \(4 = x\left( {5 - x} \right) \Rightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \Rightarrow \left[ \matrix{  x = 1 \hfill \cr  x = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Với x=1, \(AD = \sqrt {A{K^2} + K{D^2}}  = 2\sqrt 5 \)

\({\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = \sqrt {{A_1}{D^2} - A{D^2}}  = \sqrt 5 \)

Khi đó \({V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = 20\sqrt 5 \)

Với x=4, tương tự ta có :\({V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = 10\sqrt 5 \).



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay