Bài 26 trang 9 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao - ... DeHocTot.com

Bài 26 trang 9 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

Toán nâng cao


Cho khối hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, góc \(\widehat {{A_1}AB} = \widehat {BAD} = \widehat {{A_1}AD}= \alpha \left( {{0^0} < \alpha  < {{90}^0}} \right).\)Hãy tính thể tích của khối hộp.

Giải

(h.9)

Hạ \({A_1}H \bot AC(H \in AC)\left(  *  \right).\)

Tam giác A1BD cân ( do \({A_1}B = {A_1}D)\) suy ra \(BD \bot {A_1}O\). Mặt khác

\(\eqalign{  & BD \bot AC  \cr  &  \Rightarrow BD \bot \left( {{A_1}AO} \right) \Rightarrow BD \bot {A_1}H\left( { *  * } \right). \cr} \)

Từ \(\left(  *  \right)\) và \(\left( { *  * } \right) \Rightarrow {A_1}H \bot \left( {ABCD} \right).\)

Đặt  \(\widehat {{A_1}AO} = \varphi .\) Ta có hệ thức :

\(\cos \alpha  = cos\varphi .cos{\alpha  \over 2}\)

Thật vậy, hạ \({A_1}K \bot AD \Rightarrow HK \bot AK\) (định lý ba đường vuông góc )

\( \Rightarrow \cos \varphi .cos{\alpha  \over 2} = {{AH} \over {A{A_1}}}.{{AK} \over {AH}} = {{AK} \over {A{A_1}}} = \cos \alpha .\)

Từ đẳng thức trên ta suy ra : \(cos\varphi  = {{cos\alpha } \over {cos{\alpha  \over 2}}}.\)

Do đó

\({A_1}H = a.\sin \varphi  = a\sqrt {1 - {{{{\cos }^2}_\alpha } \over {co{s^2}{\alpha  \over 2}}}}  \)

          \(= {a \over {cos{\alpha  \over 2}}}\sqrt {{{\cos }^2}_{{\alpha  \over 2}} - co{s^2}_\alpha } .\)

\(\eqalign{  & {V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = AB.AD.\sin \alpha .{A_1}H \cr&= {a^2}.\sin a.{a \over {cos{\alpha  \over 2}}}\sqrt {co{s^2}{\alpha  \over 2} - co{s^2}\alpha }   \cr  &  = 2{a^3}\sin {\alpha  \over 2}\sqrt {co{s^2}{\alpha  \over 2} - co{s^2}\alpha } . \cr} \)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay