Bài 3 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - Cho tam giác đều ABC cạnh a. Xét đường ... DeHocTot.com

Bài 3 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Cho tam giác đều ABC cạnh a. Xét đường thẳng \(\Delta \) đi qua A và vuông góc với mp(ABC). Gọi S là điểm bất kì trên \(\Delta \), S khác A.

1) Khi SA=h (h cho trước ), hãy tính diện tích và thể tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

2) Gọi A’ là điểm đối xứng với điểm A qua tâm mặt cầu nói trên. Chứng minh rằng khi S thay đổi \(\Delta \) thì A’ thuộc một đường thẳng cố định.

Giải

(h.49)

 

1) Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABCd là trục của đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)  thì \(G \in d\) và \(d//\Delta \). Trong \(mp(\Delta ,d),\) đường trung trực của SA cắt d tại điểm I thì I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABCR=IA là bán kính của mặt cầu đó.

Dễ thấy \(GI = {1 \over 2}SA = {h \over 2},AG = {{a\sqrt 3 } \over 3},\) từ đó \(I{A^2} = {{{h^2}} \over 4} + {{{a^2}} \over 3} = {1 \over {12}}(4{a^2} + 3{h^2}).\)

Vậy mặt cầu đó có diện tích là

\(S = {\pi  \over 3}(4{a^2} + 3{h^2})\)

Và thể tích là

\(V = {4 \over 3}\pi .{\left( {{{\sqrt {4{a^2} + 3{h^2}} } \over {2\sqrt 3 }}} \right)^3} = {\pi  \over {18\sqrt 3 }}{(\sqrt {4{a^2} + 3{h^2}} )^3}.\)

2) Khi S thay đổi trên đường thẳng \(\Delta \) thì tâm \(I\) của mặt cầu ấy thay đổi trên đường thẳng d. Mặt khác \(\overrightarrow {AA'}  = 2\overrightarrow {AI} ,\) vậy A’ thuộc đường thẳng \(\Delta '\) song song với \(\Delta \) và qua điểm \({A_1}\) sao cho \(\overrightarrow {A{A_1}}  = 2\overrightarrow {AG} ,\) tức là A’ thuộc đường thẳng cố định \(\Delta '.\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay