Bài 40 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - ... DeHocTot.com

Bài 40 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Viết phương trình mạt phẳng đi qua điểm M0(1;1;1), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C, sao cho thể tích của tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất.

Giải

Giả sử \(A(a;0;0),B(0;b;0),C = (0;0;c)\) với \(a,b,c > 0\) và (P) là mặt phẳng phải tìm. Phương trình của (P) là :

\({x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1.\)

Vì \({M_0} \in \left( P \right)\) nên \({1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} = 1.\)

Thể tích của tứ diện OABC là : \({V_{OABC}} = {1 \over 6}abc.\)

Theo bất đẳng thức Cô-si :

\(1 = {1 \over a} + {1 \over b} + {1 \over c} \ge {3 \over {\root 3 \of {abc} }} \Leftrightarrow abc \ge 27\)

\( \Rightarrow {V_{OABC}} \ge {{27} \over 6} = {9 \over 2}\), dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=3.\)

Vậy VOABC nhỏ nhất bằng \({9 \over 2}\) khi \(a=b=c=3\), khi đó phương trình mặt phẳng (P) là \(x+y+z-3=0.\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay