Bài 45 trang 63 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - Cho tứ diện đều ABCD, AA1 là một dườn... DeHocTot.com

Bài 45 trang 63 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Cho tứ diện đều ABCD, AA1 là một dường cao của tứ diện. Gọi I là trung điểm của AA1. Mặt phẳng (BCI) chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện. Tính tỉ số hai bán kính của hai mặt cầu ngoại tiếp hai tứ diện đó.

Giải

Gọi N là trung điểm của BCJ là giao điểm của NI với AD, khi đó mp(BCI) chia tứ diện đã cho thành hai tứ diện  BCDJABCJ.

Dễ thấy \({\rm{AJ = }}{1 \over 4}AD.\)

Vì \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1} \bot mp(BCD)\) nên mọi điểm thuộc \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\) cách đều B,C, D. Khi đó, tâm O1 của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDJ là giao điểm của \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\) với đường trung trực của JD( xét trong mp(\({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}D\))).

Tương tự như trên, tâm O2 của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCJ là giao của với đường trung trực của AJ ( xét trong mp(ADD1))(DD1 là đường cao kẻ từ đỉnh D của tứ diện ABCD).

Gọi EF lần lượt là trung điểm của DJAJ. Xét tứ giác nội tiếp \({O_1}{A_1}DE\) (hình 89b), ta có

\(\eqalign{  & AE.AD = A{O_1}{\rm{.A}}{{\rm{A}}_1}  \cr  &  \Rightarrow A{O_1} = {{AE.AD} \over {A{A_1}}}. \cr} \)

Mặt khác

\({\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = {{a\sqrt 6 } \over 3},AE = {a \over 4} + {{3a} \over 8} = {{5a} \over 8}.\)

Từ đó

\(A{O_1} = {{5a.a} \over {8.{{a\sqrt 6 } \over 3}}} = {{5a\sqrt 6 } \over {16}}.\)

Và do đó \({A_1}{O_1} = {A_1}A - A{O_1} \)

                           \(= {{a\sqrt 6 } \over 3} - {{5a\sqrt 6 } \over {16}} = {{a\sqrt 6 } \over {48}}\)

Vậy bán kính \({R_1}\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCDJ  là

\(\eqalign{  & R_1^2 = {O_1}{D^2} = {A_1}O_1^2 + {A_1}{D^2}\cr&\;\;\;\;\;\; = {{6{a^2}} \over {{{48}^2}}} + {{3{a^2}} \over 9} = {{{a^2}} \over {48.8}} + {{{a^2}} \over 3} = {{129.{a^2}} \over {48.8}}  \cr  &  \Rightarrow {R_1} = {{a\sqrt {129} } \over {8\sqrt 6 }}. \cr} \)

Từ giác \({O_2}{D_1}FA\) nội tiếp đường tròn nên

\({\rm{D}}{{\rm{D}}_1}.D{O_2} = DF.DA \Rightarrow D{O_2} = {{DF.DA} \over {D{D_1}}}.\)

Mặt khác

\(DF = {{3a} \over 4} + {a \over 8} = {{7a} \over 8},DA = a,{\rm{D}}{{\rm{D}}_1} = {{a\sqrt 6 } \over 3},\) từ đó

\(D{O_2} = {{{{7a} \over 8}.a} \over {{{a\sqrt 6 } \over 3}}} = {{21a\sqrt 6 } \over {8.6}} = {{7a\sqrt 6 } \over {16}}.\)

Suy ra \({{\rm{D}}_1}{{\rm{O}}_2} = {{7a\sqrt 6 } \over {16}} - {{a\sqrt 6 } \over 3} = {{5a\sqrt 6 } \over {48}}\) và do đó, bán kính \({R_2}\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCJ

\(R_2^2 = {O_2}A_2^2 = {O_2}D_1^2 + {D_1}{A^2} \)

       \(= {{25{a^2}.6} \over {{{48}^2}}} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} \)

       \(= {{25{a^2}} \over {48.8}} + {{{a^2}} \over 3} = {{153{a^2}} \over {48.8}},\)

Từ đó \({R_2} = {{a\sqrt {153} } \over {8\sqrt 6 }}.\) Vậy \({{{R_1}} \over {{R_2}}} = {{a\sqrt {129} } \over {8\sqrt 6 }}:{{a\sqrt {153} } \over {8\sqrt 6 }} = \sqrt {{{43} \over {51}}} .\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay