Bài 46 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - a) Cho mặt cầu có phương trình \({x^2} + {... DeHocTot.com

Bài 46 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Toán nâng cao


a) Cho mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y + 4z + 5 = 0\) và điểm \({M_0}(4;3;0)\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \({M_0}.\)

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) có phương trình \(x + 2y - 2z + 5 = 0.\)

c) Cho bốn điểm \(A(3; - 2; - 2),B(3;2;0),C( - 1;1;2).\) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).

d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm \(A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1)\) và có tâm I nằm trên mặt phẳng \(x + y + z - 3 = 0.\)

Giải

a) Dễ thấy điểm \({M_0}(4;3;0)\) thuộc mặt cầu và điểm \(I(3;1; - 2)\) là tâm mặt cầu. Do đó, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M0 là mặt phẳng đi qua điểm M0 với vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {I{M_0}} \), nó có phương trình :

\(1.(x - 4) + 2(y - 3) + 2(z - 0) = 0\) hay \(x + 2y + 2z - 10 = 0.\)

b) Bán kính R của mặt cầu phải tìm bằng khoảng cách từ tâm I(-2;1;1) tới mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nên \(R = {{\left| { - 2 + 2 - 2 + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1.\)

Vậy phương trình mặt cầu là

\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1.\)

c) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = ( - 3;0;1),\overrightarrow {BD}  = ( - 4; - 1;2) \)

\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\).

Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là :

\(1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0\) hay \(x + 2y + 3z - 7 = 0.\)

Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm, ta có :

\(R = d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = {{\left| {3 + 2( - 2) + 3( - 2) - 7} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \sqrt {14} .\)

Vậy phương trình mặt cầu là :

\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14.\)

d) Phương trình mặt cầu (S) phải tìm có dạng

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.\)

Ta có \(\eqalign{  & A \in (S) \Rightarrow 1 - 2a + d = 0,  \cr  & B \in (S) \Rightarrow 1 - 2b + d = 0,  \cr  & C \in (S) \Rightarrow 1 - 2c + d = 0. \cr} \)

Đồng thời tâm I(a; b; c) của mặt cầu thuộc mặt phẳng \(x + y + z - 3 = 0\) nên \(a + b + c - 3 = 0.\)

Giải hệ \(\left\{ \matrix{  1 - 2a + d = 0 \hfill \cr  1 - 2b + d = 0 \hfill \cr  1 - 2c + d = 0 \hfill \cr  a + b + c - 3 = 0 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow a = b = c = d = 1.\)

Vậy phương trình mặt cầu là

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z + 1 = 0.\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay