Bài 6 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạn... DeHocTot.com

Bài 6 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, chiều cao SH bằng \({a \over 2}.\)

1) Chứng minh rằng tồn tại mặt cầu tâm H tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính R của mặt cầu đó.

2) Gọi (P) là mặt phẳng song song với mp(ABCD) và cách mp(ABCD) một khoảng x (0 < x < R). Gọi Std là diện tích thiết diện tạo bởi mp(P) và hình chóp bỏ đi phần nằm trong mặt cầu. Hãy xác định x để \({S_{td}} = \pi {R^2}.\)

Giải

(h.52)

1) Gọi I là trung điểm của BC thì \(HI = {a \over 2} = SH.\)

Gọi J là trung điểm của SI thì \(HJ \bot SI,\) mặt khác \(HJ \bot BC\), vậy \(HJ \bot mp(SBC)\) đồng thời \(HJ = {{SI} \over 2} = {1 \over 2}.{a \over 2}\sqrt 2  = {{a\sqrt 2 } \over 4}.\)

Tương tự, ta có khoảng cách từ H tới các mặt bên của hình chóp đã cho cũng bằng \({{a\sqrt 2 } \over 4}.\)

Như vậy, mặt cầu tiếp xúc với các mặt bên của hình chóp S.ABCD.

2) Gọi H1 là giao điểm của (P)SH thì \(H{H_1} = x,0 < H{H_1} < R\) và thiết diện của hình chóp với (P) là hình vuông \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}.\) Khi ấy

\({{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}} \over {{S_{ABCD}}}} = {\left( {{{{a \over 2} - x} \over {{a \over 2}}}} \right)^2} = {{{{\left( {a - 2x} \right)}^2}} \over {{a^2}}}.\)

Từ đó \({S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = {(a - 2x)^2}.\)

Ta có (P) cắt mặt cầu nêu trên theo đường tròn bán kính r được tính bởi \({r^2} = {R^2} - {x^2}\) hay \({r^2} = {{{a^2}} \over 8} - {x^2} = {{{a^2} - 8{x^2}} \over 8},\) từ đó diện tích hình tròn thu được là \({1 \over 8}\pi \left( {{a^2} - 8{x^2}} \right).\)Vậy

\(\eqalign{   {S_{td}} &= {(a - 2x)^2} - {1 \over 8}\pi ({a^2} - 8{x^2}) \cr&= {1 \over 8}\left[ {8{{(a - 2x)}^2} - \pi ({a^2} - 8{x^2})} \right].  \cr  &  \cr} \)

Ta có

\(\eqalign{  & {S_{td}} = \pi {R^2} = {1 \over 8}\pi {a^2} \cr&\Leftrightarrow 8{(a - 2x)^2} - \pi {a^2} + 8\pi {x^2} = \pi {a^2}  \cr  &  \Leftrightarrow 4\left[ {{{(a - 2x)}^2} + \pi {x^2}} \right] = \pi {a^2}  \cr  &  \Leftrightarrow x = {{4a - \pi a} \over {8 + 2\pi }} \cr} \)

(vì \(0 < x < R = {{a\sqrt 2 } \over 4}\)).



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay