Bài 61 trang 131 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - a) Viết phương trình hình chiếu của đư... DeHocTot.com

Bài 61 trang 131 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Toán nâng cao


a) Viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d : \(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 2 + 3t \hfill \cr  z = 3 + t \hfill \cr}  \right.\)

trên mỗi mặt phẳng sau : \(mp(Oxy),mp(Oxz),mp(Oyz),\)

\(mp\left( \alpha  \right):x + y + z - 7 = 0.\)

b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{  x = {7 \over 2} + 3t \hfill \cr  y =  - 2t \hfill \cr  z =  - 2t \hfill \cr}  \right.\)

Trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 2y - 2z - 2 = 0.\)

Giải

a) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) là

\(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y =  - 2 + 3t \hfill \cr  z = 0. \hfill \cr}  \right.\)

\( * \) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(Oxz) là

\(\left\{ \matrix{  x = 1 + 2t \hfill \cr  y = 0 \hfill \cr  z = 3 + t. \hfill \cr}  \right.\)

\( * \) Phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mp(Oyz) là

\(\left\{ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  y =  - 2 + 3t \hfill \cr  z = 3 + t. \hfill \cr}  \right.\)

\( * \) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên \(mp\left( \alpha  \right)\) là giao tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) với mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\), trong đó \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với \(\left( \alpha  \right)\).

Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow {{u_d}}  = (2;3;1),\) vec tơ pháp tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (1;1;1).\) Vậy vec tơ pháp tuyến của \(\left( \beta  \right)\) là :

\(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right] = \left( {\left| \matrix{  3 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  1 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  2 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  2 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  3 \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|} \right) \)

      \(= (2; - 1; - 1).\)

Điểm \({M_0}\left( {1; - 2;3} \right)\) thuộc d và cũng thuộc \((\beta)\), do đó phương trình mặt phẳng \((\beta)\) là:

\(\eqalign{
& 2\left( {x - 1} \right) - 1\left( {y + 2} \right) - 1\left( {z - 3} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow 2x - y - z - 1 = 0 \cr} \)

Vậy hình chiếu của d trên \((\alpha)\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((\beta)\) và \((\alpha)\) có phương trình lần lượt là: \(x+y+z-7=0\) và \(2x-y-z-1=0\).

Suy ra phương trình tham số của d là:

\(\left\{ \matrix{
x = {8 \over 3} \hfill \cr
y = {{13} \over 3} - t \hfill \cr
z = t \hfill \cr} \right.\)

b) Gọi \((\beta)\) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với \((\alpha)\) thì \((\beta)\) có phương trình là:

\((\beta ):2x + y + 2z - 7 = 0\)

Khi đó hình chiếu của đường thẳng d trên \((\alpha)\) là giao tuyến của \((\alpha):x+2y-2z-2=0\) và \((\beta ):2x + y + 2z - 7 = 0\).

Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d là:

\({{x - 4} \over 2} = {{y + 1} \over { - 2}} = {z \over { - 1}}\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay