Bài 65 trang 132 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - ... DeHocTot.com

Bài 65 trang 132 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Toán nâng cao


a) Tìm tập hợp các điểm cách đều ba điểm A(1;1;1), B(-1;2;0), C(2;-3;2).

b) Tìm quỹ tích các điểm M cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy và điểm A(1;1;0).

Giải

a) Điểm M(x ; y ; z) cách đều ba điểm A, B, C khi và chỉ khi

      \(\left\{ \matrix{  M{A^2} = M{B^2} \hfill \cr  M{A^2} = M{C^2} \hfill \cr}  \right.\) 

Vậy tập hợp điểm M(x; y; z) là đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt có phương trình (1) và (2). Đường thẳng đó có phương trình là:

                              \(\left\{ \matrix{  x =  - 8 - 3t \hfill \cr  y = t \hfill \cr  z = 15 + 7t \hfill \cr}  \right.\)

Nó chính là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Xét điểm M(x ; y ; z). Khi đó khoảng cách dx từ M tới trục Ox là

                  \({d_x} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow i } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow i } \right|}} = \sqrt {{y^2} + {z^2}} .\)

khoảng cách dy từ M tới trục Oy là

                  \({d_y} = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow j } \right]} \right|} \over {\left| {\overrightarrow j } \right|}} = \sqrt {{x^2} + {z^2}} .\)

Mặt khác \(MA = \sqrt {{{(x - {\rm{ 1}})}^2} + {\rm{ }}{{\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ 1}}} \right)}^2} + {\rm{ }}{z^2}.} \)

Vậy M  là một điểm của quỹ tích khi

\(\left\{ \matrix{  {y^2} + {z^2} = {x^2} + {z^2} \hfill \cr  {y^2} + {z^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2(x + y) + 2 \hfill \cr}  \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} = {y^2}  (1) \hfill \cr  {x^2} - 2(x + y) + 2 = 0.   (2) \hfill \cr}  \right.\) 

Từ (1) suy ra x = y hoặc x = -y.

Khi x = y, phương trình (2) có dạng: \({x^2} - 4x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \pm \sqrt 2 .\)

Trong trường hợp này, quỹ tích M là những điểm (x; y; z) mà:

\(\left\{ \matrix{  x = 2 + \sqrt 2  \hfill \cr  y = 2 + \sqrt 2  \hfill \cr  z = t \hfill \cr}  \right.\)      (3)      và        \(\left\{ \matrix{  x = 2 - \sqrt 2  \hfill \cr  y = 2 - \sqrt 2  \hfill \cr  z = t \hfill \cr}  \right.\)     (4)

Khi \(x =  - y\), phương trình (2) trở thành: \({x^2} + 2 = 0\). Điều này không xảy ra.

Vậy quỹ tích cầm tìm là hai đường thẳng có phương trình (3) và (4)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay