Bài 7 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác ... DeHocTot.com

Bài 7 trang 55 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại HSH là đường cao của hình chóp đã cho.

1) Chứng minh rằng bốn tâm mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC, S.HCD, S.HDA là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.

2) Gọi H1, H2, H3, H4 là hình chiếu của H lần lượt trên AB, BC, CD, DA . Chứng minh rằng hình chóp S. H1H2H3H4 có mặt cầu ngoại tiếp. Tính diện tích của thiết diện của mặt cầu ấy khi cắt bởi mp(ABCD) nếu biết H1H3 =a,\(\widehat {BAC} = \alpha ,\widehat {BDC} = \beta \)

Giải

1)

Gọi I1 là trung điểm của ABO1 là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABH thì \({I_1}{O_1}// SH\) và \({I_1}{O_1} = {1 \over 2}SH.\)

Tương tự như trên, nếu \({I_2},{I_3},{I_4}\) thứ tự là trung điểm của BC, CD, DA và \({O_2},{O_3},{O_4}\) thứ tự là tâm của mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HBC, S.HCD, S.HDA thì

 \(\eqalign{  & {I_2}{O_2} = {1 \over 2}SH,{I_3}{O_3} = {1 \over 2}SH,  \cr  & {I_4}{O_4} = {1 \over 2}SH, \cr} \)

và \({I_2}{O_2},{I_3}{O_3},{I_4}{O_4}\) cùng song song với SH.

Dễ thấy \({I_1}{I_2}//{O_1}{O_2}\) và \({I_1}{I_2}//AC,\)

             \({I_2}{I_3}//{O_2}{O_3}\) và \({I_2}{I_3}//BD,\)

             \({I_3}{I_4}//{O_3}{O_4}\) và \({I_3}{I_4}//AC,\)

             \({I_4}{I_1}//{O_4}{O_1}\) và \({I_4}{I_1}//BD.\)

Kết hợp với \(AC \bot BD,\) ta có \({O_1}{O_2}{O_3}{O_4}\) là hình chữ nhật.

2)

Dễ thấy  \(\widehat {H{H_1}{H_2}} = \widehat {HB{H_2}} = \widehat {HBC},\)

              \(\widehat {H{H_1}{H_4}} = \widehat {HA{H_4}} = \widehat {HAD},\)

              \(\widehat {H{H_3}{H_2}} = \widehat {HC{H_2}} = \widehat {HCB},\)

              \(\widehat {H{H_3}{H_4}} = \widehat {HD{H_4}} = \widehat {HDA}\)

Từ đó

\(\widehat {H{H_1}{H_2}} + \widehat {H{H_1}{H_4}} + \widehat {H{H_3}{H_2}} + \widehat {H{H_3}{H_4}}\)

\(= \widehat {HBC} + \widehat {HCB} + \widehat {HAD} + \widehat {HDA} = {180^0}\)

Vậy \({H_1}{H_2}{H_3}{H_4}\) là tứ giác nội tiếp đường tròn. Từ đó hình chóp S. \({H_1}{H_2}{H_3}{H_4}\) có mặt cầu ngoại tiếp.

Diện tích thiết diện của hình cầu đó và mặt phẳng (ABCD) là diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác \({H_1}{H_2}{H_3}{H_4}\).

Vì \(\widehat {BAC} = \alpha ,\widehat {BDC} = \beta \)  nên \(\widehat {{H_1}{H_4}{H_3}} = \alpha  + \beta \). Khi ấy \({{{H_1}{H_3}} \over {\sin (\alpha  + \beta )}} = 2R\) (R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác \({H_1}{H_2}{H_3}{H_4}\)), từ đó \(R = {a \over {2\sin (\alpha  + \beta )}}.\)

Vậy diện tích hình thu được là

\(4\pi {R^2} = {{\pi {a^2}} \over {{{\sin }^2}(\alpha  + \beta )}}.\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay