Bài 89 trang 138 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - ... DeHocTot.com

Bài 89 trang 138 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Dùng phương pháp hình học, giải thích các bài toán sau:

a) Chứng minh

\(\sqrt {5x + 2}  + \sqrt {5y + 2}  + \sqrt {5z + 2}  \le 6\sqrt 3 ,\)

\(\forall x,y,z \ge  - {2 \over 5},x + y + z = 6.\)

b) Chứng minh \(\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \sqrt {2 - {{\sin }^2}x}  + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}\sqrt {2 - {{\sin }^2}x} } \right| \le 3,\forall x.\)

c) Tìm giá trị lớn nhất của tham số

\(f(x) = \sqrt {x + m}  + \sqrt {x + n}  + \sqrt {m + n} \)

Với \(x,m,n \ge 0,x + m + n = 1\)

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\(A = \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2} + 4}  + \sqrt {{x^2} + {{(y + 1)}^2} + 1} ,\)

\(\forall x,y.\)

e) Chứng minh:

\(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z + 1)}^2}}  \)

\(+ \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}}  \ge 2\sqrt 2 ,\forall x,y,z\)

Dấu = xảy ra khi nào?

Giải

a) Xét hai vectơ :\(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)\) và \(\overrightarrow v  = \left( {\sqrt {5x + 2} ;\sqrt {5y + 2} ;\sqrt {5z + 2} } \right).\)

Ta có \(\eqalign{  & \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {5(x + y + z) + 6}  = 6,  \cr  & \overrightarrow u .\overrightarrow v  = \sqrt {5x + 2}  + \sqrt {5y + 2}  + \sqrt {5z + 2} . \cr} \)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\) suy ra đpcm.

b) Xét hai vectơ :\(\overrightarrow u  = \left( {\sin x;1;\sqrt {2 - {{\sin }^2}x} } \right)\) và  \(\overrightarrow v  = \left( {1;\sqrt {2 - {{\sin }^2}x} ;\sin x} \right)\)

Từ \(\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|\) suy ra đpcm.

c) Xét hai vectơ : \(\overrightarrow u  = \left( {\sqrt {x + m} ;\sqrt {x + n} ;\sqrt {m + n} } \right)\) và \(\overrightarrow v  = (1;1;1).\)

Ta có \(\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt 2 \), \(\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 3 \) suy ra \(f\left( x \right) = \overrightarrow u .\overrightarrow v  \le \left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt 6 \).

Dấu bằng xảy ra khi \(\overrightarrow u \), \(\overrightarrow v \) cùng hướng, nghĩa là

\({{\sqrt {x + m} } \over 1} = {{\sqrt {x + n} } \over 1} = {{\sqrt {m + n} } \over 1} > 0 \Leftrightarrow x = m = n > 0.\)

Kết hợp với \(x + m + n = 1\) suy ra \(x = m = n = {1 \over 3}\)

Vậy \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(\sqrt 6 \) khi \(x = m = n = {1 \over 3}\)

d) Đặt \(\overrightarrow u  = \left( {x + 1;y;2} \right),\) \(\overrightarrow v  = \left( { - x; - y - 1;1} \right),\) ta có \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = {\rm{ }}\left( {1; - 1{\rm{ }};3} \right).\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left| {\overrightarrow u  + \overrightarrow v } \right| \le \left| {\overrightarrow u } \right| + \left| {\overrightarrow v } \right|,\) ta suy ra

\(A = \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {y^2} + 4}  + \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2} + 1} \)

\(\ge \sqrt {11} .\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) cùng hướng, nghĩa là

                  \({{x + 1} \over { - x}} = {y \over { - y - 1}} = {2 \over 1} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {1 \over 3} \hfill \cr  y =  - {2 \over 3}. \hfill \cr}  \right.\)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\sqrt {11} \) khi \(x =  - {1 \over 3},y =  - {2 \over 3}.\)

e) Trong không gian Oxyz, ta lấy các điểm \(A\left( {1{\rm{ }};{\rm{ 1}};{\rm{ }} - 1} \right),B\left( { - 1{\rm{ }};{\rm{ 1 }};{\rm{ 1}}} \right)\) và \(M(x;y;z).\) Khi đó\(AB = {\rm{ }}2\sqrt 2 \) và

\(MA{\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {\rm{ }}{{(y{\rm{ }} - 1)}^2} + {{(z + 1)}^2}} ,\)

\(MB{\rm{ }} = {\rm{ }}\sqrt {{{(x + 1)}^2} + {\rm{ }}{{(y{\rm{ }} - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}} .\)

Từ bất đẳng thức \(MA + MB \ge AB\), ta suy ra

\(\sqrt {{{(x - 1)}^2} + {\rm{ }}{{(y{\rm{ }} - 1)}^2} + {{(z + 1)}^2}}  \)

\(+ \sqrt {{{(x + 1)}^2} + {\rm{ }}{{(y{\rm{ }} - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}}  \ge 2\sqrt 2 .\)

Dấu = xảy ra khi M nằm giữa hai điểm A, B hay\(\overrightarrow {AM}  = t\overrightarrow {AB} \) ,\(0{\rm{ }} \le t{\rm{ }} \le 1.\)

nghĩa là

\(\left\{ \matrix{  x - 1 =  - 2t \hfill \cr  y - 1 = 0 \hfill \cr  z + 1 = 2t \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x = 1 - 2t \hfill \cr  y = 1 \hfill \cr  z =  - 1 + 2t \hfill \cr}  \right.\)      \(0{\rm{ }} \le t{\rm{ }} \le 1.\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay