Bài 92 trang 140 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao - Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường t... DeHocTot.com

Bài 92 trang 140 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

Toán nâng cao


Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

                     \(\Delta :\left\{ \matrix{  x = 3 + t \hfill \cr  y =  - 1 + 2t \hfill \cr  z = 4 \hfill \cr}  \right.\)

Gọi \(\Delta '\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

\((\alpha ):x - 3y + z = 0\) và \((\alpha '):x + y - z + 4 = 0\)

và điểm M0 (1; 1; 2).

a) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng \(\Delta\) và \(\Delta '\) .

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa \(\Delta '\) song song với \(\Delta \) .

c) Viết phương trình mặt phẳng qua M0 và vuông góc với \(\Delta \) .

d) Viết phương trình đường thẳng qua M0, cắt cả \(\Delta\) và \(\Delta '\) .

e) Tính khoảng cách giữa \(\Delta\) và \(\Delta '\) .

f) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của \(\Delta\) và \(\Delta '\) .

Giải

a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \({N_o}\left( {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}4} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}0} \right).\)

Đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(N_o'( - 2;{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}2)\) và có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow {u'}  = \left( {\left| {\matrix{   { - 3} & 1  \cr   1 & { - 1}  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   1 & 1  \cr   { - 1} & 1  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   1 & { - 3}  \cr   1 & 1  \cr  } } \right|} \right) = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}4} \right)\)

Ta có \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = {\rm{ }}\left( {8{\rm{ }};{\rm{ }} - 4{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right),\overrightarrow {{N_o}N_o'}  = {\rm{ }}\left( { - 5{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }} - 2} \right),\) suy ra

\(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{N_o}N_o'}  = {\rm{ }}8\left( { - 5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}\left( { - 4} \right).{\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}2\left( { - 2} \right){\rm{ }}\)

                              \(= {\rm{ }} - 40{\rm{ }} \ne {\rm{ }}0.\)

Vậy \(\Delta \) và \(\Delta \)' chéo nhau.

b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa \(\Delta \)' và song song với \(\Delta \), khi đó (P) đi qua điểm \(N_o'\left( { - 2;0;2} \right) \in \Delta '\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_P}}  = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {4; - 2; - 1} \right).\)

Vậy phương trình mp(P) là :

\(4\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} - 2(y - {\rm{ }}0){\rm{ }} - {\rm{ 1}}\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \(4x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} - z{\rm{ }} + {\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

c) Gọi d  là mặt phẳng qua \({M_o}\left( {{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right)\) và vuông góc với \(\Delta \). Khi đó, (Q) nhận vectơ \(\overrightarrow u  = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Vậy (Q) có phương trình :

\(1{\rm{ }}\left( {x - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \(x + {\rm{ }}2y{\rm{ }} - {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

d) Gọi d là đường thẳng qua Mo, cắt cả \(\Delta \) và \(\Delta \)'. Khi đó, d là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \beta  \right) = {\rm{ }}({M_o},\Delta )\) và \(\left( {\beta '} \right) = {\rm{ }}({M_o},\Delta ')\)

Mặt phẳng \(\left( \beta  \right)\) đi qua \({M_o}\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\)  và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\overrightarrow {{M_o}{N_o}} ,\overrightarrow u } \right].\)

Ta có \(\overrightarrow {{M_o}{N_o}}  = {\rm{ }}\left( {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right),\overrightarrow u  = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\) suy ra

\(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {\left| {\matrix{   { - 2} & 2  \cr   2 & 0  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   2 & 2  \cr   0 & 1  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   2 & { - 2}  \cr   1 & 2  \cr  } } \right|} \right) = {\rm{ }}\left( { - 4{\rm{ }};{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}6} \right).\)

Vậy phương trình mp(\(\beta \)) là :

\( - 4(x - 1) + {\rm{ }}2\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}6\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \( - 2x + {\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3z{\rm{ }} - {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Mặt phẳng (\(\beta \)) đi qua \({M_o}\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{\beta '}}}  = \left[ {\overrightarrow {{M_o}N_o'} ,\overrightarrow {u'} } \right].\)

Ta có \(\overrightarrow {{M_o}N_o'}  = {\rm{ }}\left( { - 3{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\overrightarrow {u'} {\rm{ }} = {\rm{ }}(2;{\rm{ }}2{\rm{ }};{\rm{ }}4),\) suy ra

\(\left[ {\overrightarrow {{M_o}N_o'} ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {\left| {\matrix{   { - 1} & 0  \cr   2 & 4  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   0 & { - 3}  \cr   4 & 2  \cr  } } \right|;\left| {\matrix{   { - 3} & { - 1}  \cr   2 & 2  \cr  } } \right|} \right) \)

                       \(= \left( { - 4;12; - 4} \right).\)

Ta chọn một vectơ pháp tuyến khác của (\(\beta '\)) là (1 ; -3 ; 1), từ đó (\(\beta '\)) có phương trình là :

\(1.(x - {\rm{ }}1){\rm{ }} - {\rm{ }}3\left( {y{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right) + 1\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right) = 0\) hay \(x - {\rm{ }}3y + z = 0.\)

Dễ thấy rằng đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng \( - 2x + {\rm{ }}y{\rm{ }} + 3z - 5 = {\rm{ }}0\) và \(x{\rm{ }} - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) thoả mãn bài toán. Do đó, phương trình tham số của d là

     \(\left\{ \matrix{  x = {\rm{ }} - 3{\rm{ }} + {\rm{ }}2t \hfill \cr  \;y = {\rm{ }} - 1{\rm{ }} + t \hfill \cr  {\rm{ }}z{\rm{ }} = {\rm{ }}t. \hfill \cr}  \right.\)

Dễ thấy d cắt cả \(\Delta \) và \(\Delta \)'.

e) \(d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {{N_o}N_o'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {{20} \over {\sqrt {21} }}.\)          

g) Gọi đường vuông góc chung của \(\Delta \) và \(\Delta \)' là \(\delta \). Khi đó, vectơ chỉ phương của \(\delta \) là \(\overrightarrow {{u_\delta }}  = {1 \over 2}\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {4; - 2; - 1} \right).\)

Gọi (\({\beta _1}\)) là mp\(\left( {\Delta ,\delta } \right)\) thì (\({\beta _1}\)) đi qua No và có vectơ pháp tuyến

\(\overrightarrow {{n_1}}  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_\delta }} } \right] = \left( { - 2;1; - 10} \right).\)

Vậy phương trình của (\({\beta _1}\)) là

\( - 2(x - {\rm{ }}3){\rm{ }} + {\rm{ }}1\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} - 10\left( {z{\rm{ }} - {\rm{ }}4} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\) hay \(2x{\rm{ }} - {\rm{ }}y{\rm{ }} + 10z{\rm{ }} - {\rm{ }}47{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Gọi (\({\beta _2}\)) là mp\(\left( {\Delta ',\delta } \right)\) thì (\({\beta _2}\)) đi qua \(N_o'\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \;\left[ {\overrightarrow {u'} ,\overrightarrow {{u_\delta }} } \right]\; = {\rm{ }}\left( {6;{\rm{ }}18;{\rm{ }} - {\rm{ }}12} \right).\)

Vậy (\({\beta _2}\)) có phương trình là

(\({\beta _2}\)) : \(x + {\rm{ }}3y{\rm{ }} - {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Do đó, đường vuông góc chung \(\delta \) của \(\Delta \) và \(\Delta \)' là giao tuyến của hai mặt phẳng \(:2x - {\rm{ }}y + 10z - {\rm{ }}47 = {\rm{ }}0\) và \(x{\rm{ }} + 3y - 2z + 6 = {\rm{ }}0.\)

Phương trình tham số của \(\delta \) là \(\left\{ \matrix{  x = {{23} \over 7} - 4t \hfill \cr  y =  - {3 \over 7} + 2t \hfill \cr  z{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} + t. \hfill \cr}  \right.\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay