Câu 1.12 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - Cho hàm số \(f(x) = {\sin ^2}x + cosx\)a) Chứ... DeHocTot.com

Câu 1.12 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Cho hàm số \(f(x) = {\sin ^2}x + cosx\)

a) Chứng minh rằng hàm số  đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]\) và nghịch biến trên đoạn \(\left[ {{\pi  \over 3};\pi } \right]\)

b) Chứng minh rằng với mọi \(m \in \left( { - 1;1} \right)\), phương trình

                                \({\sin ^2}x + cosx = m\)

có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Giải

a) Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Ta có:                     

\(f'(x) = 2\sin x\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x\)

           \( = \sin x(2\cos x - 1),x \in \left( {0;\pi } \right)\)

Vì khi đó sinx > 0 nên

 \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = {\pi  \over 3}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]\)và nghịch biến trên đoạn \(\left[ {{\pi  \over 3};\pi } \right]\)

b) 

+) Hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]\), \(f\left( {{\pi  \over 3}} \right) = {5 \over 4}\) và \(f(\pi) = -1\). Theo định lí về giá trị trung bình của hàm số liên tục, với  mọi \(m \in \left( { - 1;1} \right) \subset \left( { - 1;{5 \over 4}} \right)\) tồn tại một số thực \(c \in \left( {{\pi  \over 3};\pi } \right)\) sao cho f(c) = 0. Số c là nghiệm của phương trình trong b). Vì hàm số f  nghịch biến trên \(\left[ {{\pi  \over 3};\pi } \right]\)nên trên đoạn này, phương trình có một nghiệm duy nhất.

+) Vì với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 3}} \right)\) ta có \(1 \le f(x) \le {5 \over 4}\) nên phưng trình đã nêu không có nghiệm \(m \in \left( { - 1;1} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay