Câu 1.18 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - Tìm cực trị của các hàm số sau:a) \(y =... DeHocTot.com

Câu 1.18 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = \sin {x^2} - \sqrt 3 {\rm{cos}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]\)

b) \(y = 2\sin x + {\rm{cos2}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]\)

Giải          

a) \(y' = 2\sin x\cos x + \sqrt 3 \sin x\)           

        \( = \sin x(2\cos x + \sqrt 3 )\)

Với \(0 < x < \pi \)  ta có \(\sin x > 0\) . Do đó

        \(y' = 0 \Leftrightarrow \cos x =  - {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow x = {{5\pi } \over 6}\)

Bảng biến thiên

                               

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 1{3 \over 4}\)

Có thể áp dụng quy tắc 2

\(y' = \sin 2x + \sqrt 3 \sin x;y'' = 2\cos x + \sqrt 3 \cos x\)

\(y'' = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 2\cos {{5\pi } \over 6} + \sqrt 3 \cos {{5\pi } \over 6} \)

      \(= 2.{1 \over 2} + \sqrt 3 \left( { - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right) =  - {1 \over 2} < 0\)

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 1{3 \over 4}\)

b) \(y' = 2\cos x - 2\sin 2x = 2\cos x(1 - 2\sin x)\)

Với \(0 < x < \pi \) , ta có

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0 \hfill \cr  \sin x = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right.\Leftrightarrow x = {\pi  \over 2},x = {\pi  \over 6},x = {{5\pi } \over 6}\)

Ta áp dụng quy tắc 2

\(y'' =  - 2\sin x - 4\cos 2x\)

\(y'' = \left( {{\pi  \over 2}} \right) =  - 2\sin {\pi  \over 2} - 4\cos x = 2 > 0\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = {\pi  \over 2};y\left( {{\pi  \over 2}} \right) = 1\)

                                \(y''\left( {{\pi  \over 6}} \right) =  - 2\sin {\pi  \over 6} - 4\cos {\pi  \over 3} =  - 3 < 0\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {\pi  \over 6};y\left( {{\pi  \over 6}} \right) = {3 \over 2}\)

                                \(y'' = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) =  - 2\sin {{5\pi } \over 6} - 4\cos x{{5\pi } \over 3} =  - 3 < 0\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = {3 \over 2}\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay