Câu 18 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - Tìm các số phức z, w thỏa mãn các điề... DeHocTot.com

Câu 18 trang 211 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Tìm các số phức z, w thỏa mãn các điều kiện:

                \(\left\{ \matrix{\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1 \hfill \cr z + {\rm{w}} = li \hfill \cr}  \right.\)

Trong đó l là số thực cho trước.

Giải

Ta xét các trường hợp sau:

1) \(l = 0.\) Lúc này dễ thấy z là số phức tùy ý sao cho \(\left| z \right| = 1\), còn \({\rm{w}} =  - z\)

2) \(l \ne 0.\) Gọi P, A và B là các điểm lần lượt biểu diễn các số phức li, z và w.

Do \(l \ne 0\) nên P khác O. Điều kiện \(z + {\rm{w}} = li\) tương đương với điều kiện \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OP} \). Nhưng vì \(\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1\) nên A và B nằm trên đường tròn đơn vị. Vậy A và B là giao điểm của đường tròn đơn vị (O) với đường trung trực (d) của đoạn OP. Từ đó suy ra kết quả sau:

Khi \(0 \ne \left| l \right| < 2\) thì (O) và (d) cắt nhau tại hai điểm với hai số phức z và w thỏa mãn điều kiện của đề bài. Đó là hai số \( \pm {1 \over 2}\sqrt {4 - {l^2}}  + {l \over 2}i\)

Khi \(l = 2\) thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức i. Vậy z = w = i là nghiệm duy nhất của bài toán.

Khi \(l =  - 2\) thì (O) và (d) tiếp xúc với nhau tại điểm biểu diễn số phức –i. vậy z = w = -i là nghiệm duy nhất của bài toán.

Khi \(\left| l \right| > 2\) thì (O) và (d) không có điểm chung, nghĩa là không có hai số phức z, w nào thỏa mãn các điều kiện đã cho.



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay