Câu 2.105 trang 87 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - a) Cho a >1, b >1.Chứng minh rằng, nếu... DeHocTot.com

Câu 2.105 trang 87 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


a) Cho a >1, b >1.Chứng minh rằng, nếu phương trình \({a^x} + {b^x} = c\) có nghiệm \({x_0}\) thì nhiệm đó là duy nhất.

b) Chứng minh kết quả tương tự với trường hợp 0< a < 1 và 0

Giải

a) Khi a >1, b >1 thì các hàm số \(y = {a^x}\), \(y = {b^x}\) đồng biến.

Với \(x > {x_0}\) ta có \({a^x} > {a^{{x_0}}};{b^x} > {b^{{x_0}}}\). Vì vậy  \({a^x} + {b^x} > {a^{{x_0}}} + {b^{{x_0}}} = c\)

Với \(x < {x_0}\) ta có \({a^x} < {a^{{x_0}}};{b^x} < {b^{{x_0}}}\). Vì vậy \({a^x} + {b^x} < {a^{{x_0}}} + {b^{{x_0}}} = c\)

Do đó phương trình \({a^x} + {b^x} = c\) có nghiệm \({x_0}\) thì nghiệm đó là duy nhất.

 b) Cách giải tương tự như câu a), với lưu ý khi \(0 < a < 1,0 < b < 1\) thì các hàm số \(y = {a^x},y = {b^x}\)nghịch biến.

Câu a) và b) được minh họa bởi các ví dụ sau:

                                \({4^x} + {6^x} = {13.2^x} \Leftrightarrow {2^x} + {3^x} = 13\) có nghiệm duy nhất \(x = 2\)

                                 \({16^x} + {9^x} = {25^x} \Leftrightarrow {\left( {{{16} \over {25}}} \right)^x} + {\left( {{9 \over {25}}} \right)^x} = 1\) có nghiệm duy nhất \(x = 1\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay