Câu 2.106 trang 87 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - Giải các phương trình sau:a) \({2^{{{\cos }^... DeHocTot.com

Câu 2.106 trang 87 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Giải các phương trình sau:

a) \({2^{{{\cos }^2}x}} + {4.2^{{{\sin }^2}x}} = 6\)

b) \({3^{2\sin x + 2\cos x + 1}} - {\left( {{1 \over {15}}} \right)^{ - \cos x - \sin x{\rm{ - lo}}{{\rm{g}}_{15}}8}} \)

\(+ {5^{^{2\sin x + 2\cos x + 1}}} = 0.\)

Giải

a) Đặt \(t = {2^{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\left( {1 \le t \le 2} \right)\), ta được phương trình \({t^2} - 6t + 8 = 0\).

Giải ra ta được \(t = 4\) (loại) và \(t = 2\)  

Với \(t=2\) ta có:

\({2^{{{\cos }^2}x}} = 2 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = 1 \)

\(\Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi (k \in Z)\)

b) \(x = {{3\pi } \over 4} + k\pi ;x = \pi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Biến đổi phương trình về dạng

                                \({3.3^{2\left( {\sin x + \cos x} \right)}} - {8.15^{\cos x + \sin x}} + {5.5^{2\left( {\sin x + \cos x} \right)}} = 0.\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \({3^{2\left( {\sin x + \cos x} \right)}}\), rồi đặt \(t = {\left( {{5 \over 3}} \right)^{{\rm{cos}}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x}}\) với \(\left( {t > 0} \right)\) dẫn đến phương trình:

                                \(5{t^2} - 8t + 3 = 0\)

Giải ra ta được \(t = 1\)  và \(t = {3 \over 5}\)

- Với \(t = 1\) ta có \({\left( {{5 \over 3}} \right)^{{\rm{cos}}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x}} = 1\), dẫn đến \({\rm{cos}}x + \sin x = 0\) hay \({\rm{cos}}\left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = 0\)

Do vậy \(x = {{3\pi } \over 4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

- Với \(t = {3 \over 5}\) ta có \({\left( {{5 \over 3}} \right)^{{\rm{cos}}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x}} = {3 \over 5}\), dẫn đến \({\rm{cos}}x + \sin x =  - 1\) hay \({\rm{cos}}\left( {x - {\pi  \over 4}} \right) =  - {1 \over {\sqrt 2 }}\)

Do vậy \(x = \pi  + k2\pi ;x = {-\pi  \over 2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay