Câu 2.116 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - a )\(\left\{ \matrix{{\log ^2}x = {\log ^2}y + {\l... DeHocTot.com

Câu 2.116 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


a )\(\left\{ \matrix{{\log ^2}x = {\log ^2}y + {\log ^2}xy \hfill \cr{\log ^2}\left( {x - y} \right) + \log x\log y = 0 \hfill \cr}  \right.\)

b) \(\left\{ \matrix{{3^{\log x}} = {4^{\log y}} \hfill \cr{\left( {4x} \right)^{\log 4}} = {\left( {3y} \right)^{\log 3}} \hfill \cr}  \right.\)

Giải

a) ĐKXĐ: \(x > 0,y > 0,x > y\)

Biến đổi phương trình đầu như sau:

\(\eqalign{& {\log ^2}x = {\log ^2}y + {\left( {\log x + \log y} \right)^2} \cr&\Leftrightarrow 2{\log ^2}y + 2\log x\log y = 0  \cr&  \Leftrightarrow \log y\left( {\log x + \log y} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{\log y = 0 \hfill \cr\log x + \log y = 0 \hfill \cr}  \right.\left[ \matrix{ y = 1 \hfill \cr y = {1 \over x} \hfill \cr}  \right. \cr} \)

- Với \(y = 1\), thế vào phương trình thứ hai ta được

\({\log ^2}\left( {x - 1} \right) + \log x\log 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\)

- Với \(y = {1 \over x}\),  thế vào phương trình thứ hai ta được

 \(\eqalign{& {\log ^2}\left( {x - {1 \over x}} \right) + \log x\log {1 \over x} = 0 \cr&\Leftrightarrow{\log ^2}{{{x^2} - 1} \over x} - {\log ^2}x = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{lo{g^2}{{{x^2} - 1} \over x} = \log x \hfill \cr lo{g^2}{{{x^2} - 1} \over x} =  - \log x \hfill \cr}  \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{{x^2} - 1 = {x^2}\left( {loại} \right) \hfill \cr {{{x^2} - 1} \over x} = {1 \over x} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow {x^2} = 2 \cr} \)

Kết hợp với ĐKXĐ, ta được \(x = \sqrt 2 ;y = {1 \over {\sqrt 2 }}\)

Vậy \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {2;1} \right),\left( {\sqrt 2 ;{1 \over {\sqrt 2 }}} \right)\)

b) 

Lôgarit có số 10 của hai vế phương trình trong hệ ta được

\(\left\{ \matrix{\log x\log 3 = \log y\log 4 \hfill \cr\log 4\left( {\log 4 + \log x} \right) = \log 3\left( {\log 3 + \log y} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Rồi đặt \(u = \log x,v = \log y\)

Tìm u, v giải ra x, y ta được:

\(\left( {x;y} \right) = \left( {{1 \over 4};{1 \over 3}} \right)\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay