Câu 2.117 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - a ) \(\left\{ \matrix{ {4^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {... DeHocTot.com

Câu 2.117 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


a ) \(\left\{ \matrix{ {4^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {\left( {xy} \right)^{{{\log }_3}2}} \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 3x - 3y = 12 \hfill \cr}  \right.\)

b)  \(\left\{ \matrix{ y = 1 + {\log _2}x \hfill \cr{x^y} = 64 \hfill \cr}  \right.\)

Giải

a) \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {3 - \sqrt 6 ;3 + \sqrt 6 } \right),\left( {3 + \sqrt 6 ;3 - \sqrt 6 } \right)\)

ĐKXĐ: \(xy > 0\)

Áp dụng công thức \({a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_c}a}}\) , phương trình đầu của hệ có thể viết thành

                                \({\left( {{2^2}} \right)^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {2^{{{\log }_3}xy}}\)

Đặt \(t = {2^{{{\log }_3}xy}}\left( {t > 0} \right)\) ta có \({t^2} = 2 + t\). Giải phương trình ta tìm được \(t =  - 1\) (loại) và \(t = 2\). Từ đó \({\log _3}xy = 1\) hay \(xy = 3\)  

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ thành

                                \({\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) - 18 = 0\)

Giải ra, ta được \(x + y = 6\) và \(x + y =  - 3\)

Như vậy, ta có hai hệ phương trình

                                \(\left\{ \matrix{ x + y = 6 \hfill \cr xy = 3 \hfill \cr}  \right.\) và \(\left\{ \matrix{ x + y =  - 3 \hfill \cr xy = 3 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {3 - \sqrt 6 ;3 + \sqrt 6 } \right),\left( {3 + \sqrt 6 ;3 - \sqrt 6 } \right)\)

b) 

Thế y từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai rồi lấy lôgarit cơ số 2 cả hai vế.

\(\eqalign{
& \left( {1 + {{\log }_2}x} \right){\log _2}x = 6 \Leftrightarrow \log _2^2x + {\log _2}x - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 2 \hfill \cr
{\log _2}x = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 4 \Rightarrow y = 3 \hfill \cr
x = {1 \over 8} \Rightarrow y = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy nghiệm của hệ là: \(\left( {4;3} \right),\left( {{1 \over 8}; - 2} \right)\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay