Câu 2.96 trang 86 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệ... DeHocTot.com

Câu 2.96 trang 86 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm:

a) \({25^{x + 1}} - {5^{x + 2}} + m = 0\)

b) \({\left( {{1 \over 9}} \right)^x} - m.{\left( {{1 \over 3}} \right)^x} + 2m + 1 = 0.\)

Giải

a) Đặt \({5^{x + 1}} = t\left( {t > 0} \right)\) . Bài toán trở thành:

Tìm m để phương trình \({t^2} - 5t + m = 0\) (1) có ít nhất một nghiệm dương.

Điều kiện để (1) có nghiệm là \(\Delta  = 25 - 4m \ge 0\)  hay \(m \le {{25} \over 4}\). Gọi các nghiệm của (1) là \({t_1}\) và \({t_2}\left( {{t_1} \le {t_2}} \right)\), theo hệ thức Vi-ét \({t_1} + {t_2} = 5\) suy ra  \({t_2} > 0\).

Vậy \(m \le {{25} \over 4}\) thì phương trình (1) có ít nhất nghiệm \({t_2} > 0\), suy ra phương trình đã cho có nghiệm.

b) Đặt \({\left( {{1 \over 3}} \right)^x} = t\left( {t > 0} \right)\). Bài toán trở thành

Tìm m để phương trình \({t^2} - mt + 2m + 1 = 0\) (2) có ít nhất một nghiệm dương.Điều kiện để (2) có nghiệm là

                                \(\Delta  = {m^2} - 4\left(2 {m + 1} \right) = {m^2} - 8m - 4 \ge 0\)

 hay \(m \le 4 - 2\sqrt 5 \) hoặc \(m \ge 4 + 2\sqrt 5 \)

Gọi các nghiệm của (2) là \({t_1}\) và \({t_2}\left( {{t_1} \le {t_2}} \right)\), theo hệ thức Vi-ét

                      \({t_1} + {t_2} = m;{t_1}{t_2} = 2m + 1\)

- Với \(m \ge 4 + 2\sqrt 5 \) thì \({t_1} + {t_2} = m \ge 4 + 2\sqrt 5 \) suy ra \({t_2} > 0\)

- Với \(m <  - {1 \over 2}\) thì \({t_1}{t_2} < 0\) suy ra \({t_2} > 0\)

- Với \( - {1 \over 2} < m < 4 - 2\sqrt 5 \) thì \({t_1} + {t_2} < 0\) và \({t_1}{t_2} < 0\) suy ra \({t_1} < {t_2} < 0\)

Vậy với \(m <  - {1 \over 2}\) hoặc \(m \ge 4 + \sqrt 5 \) thì phương trình (2) có ít nhất nghiệm \({t_2} > 0\), suy ra phương trình đã cho có nghiệm.

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu trực tiếp với

                                \(\Delta  = {m^2} - 8m - 4;S = m;P = 2m + 1\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay