Câu 3.38 trang 147 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - a) Cho a > 0. Chứng minh rằng         ... DeHocTot.com

Câu 3.38 trang 147 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


a) Cho a > 0. Chứng minh rằng

         \(\int\limits_\alpha ^\beta  {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)} \)

trong đó r và k là các số thực thỏa mãn \({\rm{tan}}r = {\beta  \over a},\tan k = {\alpha  \over a}\)

b) Tính \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}} \)                          

Giải

a) Đặt \(x = {\rm{a}}\tan u\). Khi đó

\(dx = {{adu} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}u}},{x^2} + {a^2} = {a^2}\left( {1 + {{\tan }^2}u} \right) = {{{a^2}} \over {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}u}}\)

Theo công thức biến đổi, ta có:

\(\int\limits_\alpha ^\beta  {{{dx} \over {{x^2} + {a^2}}}}  = \int\limits_k^r {{{du} \over a} = {1 \over a}\left( {r - k} \right)} \) với \(\tan r = {\beta  \over \alpha },\tan k = {\alpha  \over a}\)                                  

b) Đặt \(u = \tan {x \over 2}\). Khi đó \(dx = {{2du} \over {1 + {u^2}}}.\)Mặt khác

 \(2 + c{\rm{os}}x = 2 + {{1 - {u^2}} \over {1 + {u^2}}} = {{3 + {u^2}} \over {1 + {u^2}}}\),

Vậy theo a) ta có

 \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{dx} \over {2 + c{\rm{os}}x}}}  = \int\limits_0^1 {{{1 + {u^2}} \over {3 + {u^2}}}.{{2du} \over {1 + {u^2}}} = } 2\int\limits_0^1 {{{du} \over {{u^2} + 3}} = } {2 \over {\sqrt 3 }}\int\limits_0^{{\pi  \over 6}} {du}  \)

\(= {{\pi \sqrt 3 } \over 9}\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay