Câu 4.30 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - Xác định tập hợp các điểm trong mặt ... DeHocTot.com

Câu 4.30 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z sao cho \({{z - 2} \over {z + 2}}\) có một acgumen bằng \({\pi  \over 3}\)

Giải               

\({{z - 2} \over {z + 2}} = {{z\overline z - 4 + 2\left( {z - \overline z} \right)} \over {{{\left| {z + 2} \right|}^2}}}\) có một acgumen bằng \({\pi  \over 3}\) khi và chỉ khi \(z\bar z - 4 + 2\left( {z - \bar z} \right) = l\left( {1 + i\sqrt 3 } \right)\), l là số thực dương.

Nếu viết \(z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)\) thì

 \(\eqalign{& z\bar z - 4 + 2\left( {z - \bar z} \right) = {x^2} + {y^2} - 4 + 4yi \cr&\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = l + l\sqrt 3 i\left( { > 0} \right)  \cr&  \Leftrightarrow 4y = \left( {{x^2} + {y^2} - 4} \right)\sqrt 3  \cr&\Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - {2 \over {\sqrt 3 }}} \right)^2} - {{16} \over 3} = 0 \cr} \)

 

Vậy M chạy trên cung tròn có tâm biểu diễn \({2 \over {\sqrt 3 }}i\) và có bán kính bằng \({4 \over {\sqrt 3 }}\) nằm ở phía trên trục thực.

Chú ý: A’, A là các điểm theo thứ tự biểu diễn -2. 2 thì điều kiện \({{z - 2} \over {z + 2}}\) có một acgumen bằng \({\pi  \over 3}\) có nghĩa là góc lượng giác tia đầu MA’, tia cuối MA’ (M là điểm biểu diễn z) bằng \({\pi  \over 3}\). Suy ra quỹ tích của M là cung tròn chứa góc \({\pi  \over 3}\) căng trên đoạn A’A (không kể A, A’) (h.4.11)

                                                   



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay