Câu 4.34 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - ... DeHocTot.com

Câu 4.34 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Biểu diễn hình học các số \(5 + i\)  và \(239 + i\) rồi chứng minh rằng nếu các số thực a, b thỏa mãn các điều kiện \(0 < a < {\pi  \over 2},0 < b < {\pi  \over 2}\)\({\mathop{\rm tana}\nolimits}  = {1 \over 5},{\mathop{\rm tanb}\nolimits}  = {1 \over {239}}\) thì \(4a - b = {\pi  \over 4}\)

Giải

Điểm M để biểu diễn số \(5 + i\), điểm N biểu diễn số \(239 + i\) thì \(\tan \left( {Ox,OM} \right) = {1 \over 5} = \tan a\), tan(\({\rm{O}}x,ON\) ) \( = {1 \over {239}} = \tan b\).

Do M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ \(Oxy\), còn \(0 < a < {\pi  \over 2}\), \(0 < b < {\pi  \over 2}\) nên một acgumen của \(5 + i\) là \(a\), một acgumen của \(239 + i\) là \(b\) . Từ đó một acgumen của \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}}\) là \(4a - b\). 

Ta có    \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}} = {{476 + 480i} \over {239 + i}}\), mà \(\left( {239 + i} \right)\left( {1 + i} \right) = 238 + 240i\)

Nên   \({{{{\left( {5 + i} \right)}^4}} \over {239 + i}} = 2(1 + i)\)

Số    \(2(1 + i)\) có một acgumen bằng \({\pi  \over 4}\)

Vậy \(4a - b = {\pi  \over 4} + k2\pi \) \((k \in Z)\).

Dễ thấy \(0 < b < a < {\pi  \over 4}\), suy ra \(4a - b = {\pi  \over 4}\).



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay