Câu 4.35 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phứ... DeHocTot.com

Câu 4.35 trang 182 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Cho tam giác đều OAB trong mặt phằng phức (O là gốc tọa độ). Chứng minh rằng nếu A, B theo thứ tự biểu diễn các số \({z_1},{z_0}\)  thì \({z_0}^2 + {z_1}^2 = {z_0}{z_1}\)

Giải

Tam giác OAB là tam giác đều khi và chỉ khi OA = OB và góc ( OA, OB ) bằng \({\pi  \over 3}\) hoặc \( - {\pi  \over 3}\) tức là khi và chỉ khi \({z_0} \ne 0\) và nếu đặt \({{{z_1}} \over {{z_0}}} = \alpha \) thì \(\left| \alpha  \right| = 1\) và một acgumen của \(\alpha \) là \({\pi  \over 3}\) hoặc \( - {\pi  \over 3}\).

Mặt khác, khi \({{{z_1}} \over {{z_0}}} = \alpha \) thì \(z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1} \Leftrightarrow z_0^2 + {\alpha ^2}z_0^2 = \alpha z_0^2 \Leftrightarrow 1 + {\alpha ^2} = \alpha \)

\( \Leftrightarrow {\alpha ^2} - \alpha  + 1 = 0 \Leftrightarrow \alpha  = {{1 \pm \sqrt 3 i} \over 2} \Leftrightarrow \left\lfloor \alpha  \right\rfloor  = 1\) và một acgumen của \(\alpha \) là \({\pi  \over 3}\) hoặc \( - {\pi  \over 3}\).

Vậy ta đã chứng minh : OAB là tam giác đều khi và chỉ khi \(z_0^2 + z_1^2 = {z_0}{z_1}\) ( \(z \ne 0\)).



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay