Câu 4.52 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - Tìm những số thực a, b, c là ba số thự... DeHocTot.com

Câu 4.52 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Toán nâng cao


Tìm những số thực a, b, c là ba số thực sao cho \({\rm{cos}}a.c{\rm{os}}b.c{\rm{os}}c \ne 0\). Tìm phần ảo của số phức.

\(\left( {1 + i\tan a} \right)\left( {1 + i\tan b} \right)\left( {1 + i\tan c} \right)\)

Rồi từ đó suy ra rằng với ba số a, b, c như thế thì:

\({\rm{tana}} + \tan b + \tan c = t{\rm{ana}}.\tan b.\tan c\)

Khi và chỉ khi \(a + b + c = k\pi \left( {k \in R} \right)\)

Giải

Phần ảo của số phức \(\left( {1 + i{\mathop{\rm tana}\nolimits} } \right)\left( {1 + i{\mathop{\rm tanb}\nolimits} } \right)\left( {1 + i{\mathop{\rm tanc}\nolimits} } \right)\) bằng

 \(\tan a + \tan b + \tan c - \tan a\tan b\tan c\)

Vậy \(\tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c\) khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là acgumen của số phức đó là một bội nguyên của \(\pi \)

Mặt khác ,  \(1 + i\tan a = {1 \over {{\rm{cos}}a}}\left( {{\rm{cos}}a + i\sin a} \right)\) có acgumen là \(a + l\pi \) (l là số nguyên bất kì); tương tự cho \(1 + i\tan b;1 + i\tan c\). Vậy

\(\left( {1 + i\tan a} \right)\left( {1 + i\tan b} \right)\left( {1 + i\tan c} \right)\) có acgumen là \(a + b + c + m\pi ,m \in Z\)

Kết luận:  \(\tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c \)

\(\Leftrightarrow a + b + c = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)



de-hoc-tot-logo Học Tốt - Giải Bài Tập Offline


Đã có app HỌC TỐT trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.


Diệt sạch Virus - Tăng tốc điện thoại - Tải Ngay